Условие задачи:

Батарея из 5 последовательно соединенных конденсаторов емкостью 4 мкФ каждый поддерживается при постоянном напряжении 60 кВ. Одна из банок пробивается. Определить работу разряда конденсаторов.

Задача №6.4.34 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=5\), \(C_0=4\) мкФ, \(U=60\) кВ, \(A-?\)

Решение задачи:

Работа разряда конденсаторов равна изменению энергии батареи конденсаторов, то есть:

\[A = {W_2} — {W_1}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(W_2\) — конечная энергия системы из \(\left( {N — 1} \right)\) конденсаторов (когда один из конденсаторов пробьется), а \(W_1\) — начальная энергия системы из \(N\) конденсаторов.

В общем случае при последовательном соединении \(N\) одинаковых конденсаторов емкостью \(C_0\) их общую электроемкость \(C\) можно находить по формуле:

\[C = \frac{{{C_0}}}{N}\]

Применительно к этой задаче это означает, что начальную и конечную электроемкость \(C_1\) и \(C_2\) можно найти по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = \frac{{{C_0}}}{N} \hfill \\
{C_2} = \frac{{{C_0}}}{{N — 1}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поскольку батарею из конденсаторов поддерживают при одном и том же напряжении, то энергии \(W_1\) и \(W_2\) определим по следующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{C_1}{U^2}}}{2} \hfill \\
{W_2} = \frac{{{C_2}{U^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{W_1} = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2N}} \hfill \\
{W_2} = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2\left( {N — 1} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Формула (1) в таком случае примет вид:

\[A = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2\left( {N — 1} \right)}} — \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2N}}\]

Приведем под общий знаменатель:

\[A = \frac{{N{C_0}{U^2} — \left( {N — 1} \right){C_0}{U^2}}}{{2N\left( {N — 1} \right)}}\]

\[A = \frac{{N{C_0}{U^2} — N{C_0}{U^2} + {C_0}{U^2}}}{{2N\left( {N — 1} \right)}}\]

\[A = \frac{{{C_0}{U^2}}}{{2N\left( {N — 1} \right)}}\]

Задача решена, посчитаем численный ответ:

\[A = \frac{{4 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot {{\left( {60 \cdot {{10}^3}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot \left( {5 — 1} \right)}} = 360\;Дж = 0,36\;кДж\]

Обратите свое внимание, что энергия батареи увеличилась, то есть работу совершил источник напряжения, так как конденсаторы не могли сами увеличить свою энергию.

Ответ: 0,36 кДж.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.33 Три воздушных конденсатора емкостью 1 мкФ каждый соединены последовательно
6.4.35 Определить электроемкость одного конденсатора, если для зарядки батареи, составленной
6.4.36 Конденсаторы электроемкостью 1 и 2 мкФ заряжены до разности потенциалов 20 и 50 В