Решение: Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов электроемкостью

Условие задачи:

Батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов электроемкостью 300 и 500 пФ заряжена до разности потенциалов 12 кВ. Определить разность потенциалов на первом конденсаторе.

Задача №6.4.25 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(C_1=300\) пФ, \(C_2=500\) пФ, \(U=12\) кВ, \(U_1-?\)

Решение задачи:

Для начала запишем формулу электроемкости и выразим из этой формулы заряд \(q\):

\[C = \frac{q}{U}\]

\[q = CU\;\;\;\;(1)\]

Пусть \(U_1\) — разность потенциалов между обкладками первого конденсатора, а \(U_2\) — разность потенциалов между обкладками второго. Известно, что при последовательном соединении конденсаторов заряд на их обкладках одинаковый, а общее напряжение равно сумме напряжений на каждом из конденсаторов. Учитывая все написанное и пользуясь формулой (1), мы получим такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1}{U_1} = {C_2}{U_2} \hfill \\
U = {U_1} + {U_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из верхнего равенства системы выразим разность потенциалов \(U_2\):

\[{U_2} = {U_1}\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\]

Полученное выражение подставим в нижнее равенство системы:

\[U = {U_1} + {U_1}\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}\]

\[U = {U_1}\frac{{{C_1} + {C_2}}}{{{C_2}}}\]

Откуда искомая разность потенциалов на первом конденсаторе \(U_1\) равна:

\[{U_1} = \frac{{U{C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}}\]

Задача решена в общем виде, нам остается только посчитать ответ, для чего подставим данные задачи в полученную формулу, не забыв при этом перевести их в систему СИ:

\[{U_1} = \frac{{12 \cdot {{10}^3} \cdot 500 \cdot {{10}^{ — 12}}}}{{300 \cdot {{10}^{ — 12}} + 500 \cdot {{10}^{ — 12}}}} = 7500\;В\]