Условие задачи:

Через сколько секунд тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 44,8 м/с, упало на Землю, если сила сопротивления воздуха не зависела от скорости и составляла в среднем 1/7 часть силы тяжести?

Задача №2.1.55 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\upsilon_0=44,8$ м/с, $F_{с}=\frac{1}{7}mg$, $t-?$

Решение задачи:

Искомое время полета $t$ складывается из времени полета вверх $t_1$ и времени полета вниз $t_2$. Неверно думать, что $t_1$ и $t_2$ равны друг другу! Дело в том, что в этом примере имеется сила сопротивления, которая вносит свои коррективы.

$$t = {t_1} + {t_2}\;\;\;\;(1)$$

Рассмотрим движение тела вверх. В этом случае сила тяжести $mg$ и сила сопротивления $F_{с}$ сонаправлены. Из второго закона Ньютона следует:

$$mg + {F_{с}} = ma_1$$

Так как по условию $F_{с}=\frac{1}{7}mg$, то:

$$mg + \frac{1}{7}mg = m{a_1}$$

$${a_1} = \frac{8}{7}g$$

Чтобы найти время $t_1$, запишем формулу скорости для равнозамедленного движения:

$$\upsilon  = {\upsilon _0} — {a_1}t$$

В наивысшей точке полета, которую тело достигнет через время $t_1$, скорость тела равна нулю ($\upsilon=0$), поэтому:

$$\upsilon  = 0 \Rightarrow {\upsilon _0} — {a_1}{t_1} = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{{\upsilon _0}}}{{{a_1}}}$$

$${t_1} = \frac{{7{\upsilon _0}}}{{8g}}\;\;\;\;(2)$$

Воспользуемся следующей формулой, чтобы найти высоту подъема:

$${\upsilon ^2} — \upsilon _0^2 =  — 2{a_1}H$$

$$\upsilon  = 0 \Rightarrow \upsilon _0^2 = 2{a_1}H$$

$$H = \frac{{\upsilon _0^2}}{{2{a_1}}} = \frac{{7\upsilon _0^2}}{{2 \cdot 8g}} = \frac{{7\upsilon _0^2}}{{16g}}$$

Теперь рассмотрим движение тела вниз. В этом случае сила тяжести $mg$ и сила сопротивления $F_{с}$ противоположно направлены. Аналогично, из второго закона Ньютона следует:

$$mg — {F_с} = m{a_2}$$

$$mg — \frac{1}{7}mg = m{a_2}$$

$${a_2} = \frac{6}{7}g$$

Тело будет падать с высоты $H$ без начальной скорости с ускорением $a$, поэтому верна следующая формула:

$$H = \frac{{{a_2}t_2^2}}{2}$$

Отсюда нужное нам время $t_2$ равно:

$${t_2} = \sqrt {\frac{{2H}}{{{a_2}}}}$$

$${t_2} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 7\upsilon _0^2 \cdot 7}}{{16g \cdot 6g}}}  = \frac{{7{\upsilon _0}}}{{4\sqrt 3 g}}\;\;\;\;(3)$$

Формулы (2) и (3) вносим в (1):

$$t = \frac{{7{\upsilon _0}}}{{8g}} + \frac{{7{\upsilon _0}}}{{4\sqrt 3 g}} = \frac{{7{\upsilon _0}}}{{4g}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)$$

Полное время полета равно:

$$t = \frac{{7 \cdot 44,8}}{{4 \cdot 10}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 8,45\; с$$

Ответ: 8,45 с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.1.54 Троллейбус, масса которого 12 т, трогаясь с места, за 5 с проходит по горизонтальному
2.1.56 Чтобы на неподвижном блоке поднимать равномерно груз, требуется усилие 270 Н
2.1.57 На гладкой доске лежат два тела массами 2 и 3 кг, соединенные легкой нерастяжимой