Решение: Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты вверху проводником

Условие задачи:

Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты вверху проводником. По ним без трения и нарушения контакта скользит перемычка длиной 2 см и массой 1 г. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл, перпендикулярной к плоскости рамки. Установившаяся скорость 0,8 м/с. Найти сопротивление перемычки. Сопротивлением стержней и провода пренебречь.

Задача №8.4.55 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(l=2\) см, \(m=1\) г, \(B=0,01\) Тл, \(\upsilon=0,8\) м/с, \(R-?\)

Решение задачи:

Условно примем магнитное поле, направленное к нам (смотрите рисунок к решению задачи).

Итак, вполне понятно, что перемычка в начале будет скользить вниз под действием силы тяжести. Поскольку скользящая перемычка находится в горизонтальном магнитном поле, значит в ней будет возникать ЭДС индукции \(\rm E_i\), равная:

\[{{\rm E}_i} = B\upsilon l\]

Из-за возникающей ЭДС индукции \(\rm E_i\) в цепи, состоящей из стержней, проводника и перемычки, будет течь ток, который можно определить, используя закон Ома. Направление тока — по часовой стрелке (смотрите рисунок к решению) — чтобы это доказать, нужно выделить в перемычке положительный заряд и узнать направление действующей на него силы Лоренца. Направление тока совпадает с направлением силы Лоренца, действующей на положительный заряд.

\[I = \frac{{{{\rm E}_i}}}{R}\]

То есть имеем:

\[I = \frac{{B\upsilon l}}{R}\;\;\;\;(1)\]

Из-за того, что в перемычке потечет ток, на неё станет действовать сила Ампера \(F_А\), причем она будет направлена вертикально вверх согласно правилу левой руки. Её значение можно найти по формуле:

\[{F_А} = IBl\]

Учитывая (1), имеем:

\[{F_А} = \frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Интересно, что начальное ускоренное движение перемычки под действием силы тяжести \(mg\) быстро сменится на равномерное из-за дополнительного действия силы Ампера \(F_А\), поскольку чем быстрее движется перемычка (т.е. чем больше ЭДС индукции), тем выше индукционный ток в цепи, и тем выше сила Ампера \(F_А\), тормозящая движение перемычки. Для равномерного движения перемычки применим первый закон Ньютона:

\[{F_А} = mg\]

Принимая во внимание (2), получим:

\[\frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{R} = mg\]

Откуда сопротивление перемычки \(R\) равно:

\[R = \frac{{{B^2}\upsilon {l^2}}}{{mg}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[R = \frac{{{{0,01}^2} \cdot 0,8 \cdot {{0,02}^2}}}{{0,001 \cdot 10}} = 3,2 \cdot {10^{ — 6}}\;Ом = 3,2\;мкОм\]