Условие задачи:

Два одинаковых шарика, заряженные одноименными зарядами и помещенные на некотором расстоянии друг от друга, отталкиваются с некоторой силой. Их приводят в соприкосновение, затем удаляют на расстояние, вдвое меньше прежнего. При этом сила их взаимного отталкивания становится в 4,5 раза больше предыдущей. Найти отношение первоначальных зарядов шариков.

Задача №6.1.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$R=\frac{R_0}{2}$, $\frac{F}{F_0}=4,5$, $\frac{q_1}{q_2}-?$

Решение задачи:

Пусть изначально шарики имеют заряды $q_1$ и $q_2$ и находятся на расстоянии $R_0$ друг от друга. Условимся, что заряд $q_1$ больше заряда $q_2$ (${q_1} > {q_2}$). Тогда сила взаимодействия между ними $F_0$ по закону Кулона равна:

$${F_0} = \frac{{k{q_1}{q_2}}}{{R_0^2}}$$

После соприкосновения шариков заряд распределится между ними и на обоих шарах станет равным $q$. Величину этого заряда можно найти так:

$$q = \frac{{{q_1} + {q_2}}}{2}$$

Учитывая, что и расстояние после соприкосновения изменится и станет равным $R$ (по условию $R=\frac{R_0}{2}$), то сила Кулона $F$ станет такой:

$$F = \frac{{k{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)}^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{{4k{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)}^2}}}{{4R_0^2}}$$

$$F = \frac{{k{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)}^2}}}{{R_0^2}}$$

По условию $\frac{F}{F_0}=4,5$, поэтому:

$$\frac{{{{\left( {{q_1} + {q_2}} \right)}^2}}}{{{q_1}{q_2}}} = 4,5$$

Тогда:

$${\left( {{q_1} + {q_2}} \right)^2} = 4,5{q_1}{q_2}$$

Раскроем квадрат суммы в левой части уравнения:

$$q_1^2 + 2{q_1}{q_2} + q_2^2 = 4,5{q_1}{q_2}$$

$$q_1^2 — 2,5{q_1}{q_2} + q_2^2 = 0$$

Поскольку нужно найти отношение зарядов $\frac{q_1}{q_2}$, разделим обе части уравнения на ${q_2}^2$:

$${\left( {\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}}} \right)^2} — 2,5\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} + 1 = 0$$

Решим это квадратное уравнение, для чего определим дискриминант:

$$D = {2,5^2} — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2,25 = {1,5^2}$$

$$\frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = \frac{{2,5 \pm 1,5}}{2}$$

$$\left[ \begin{gathered} \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 2 \hfill \\ \frac{{{q_1}}}{{{q_2}}} = 0,5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Так как мы считаем, что ${q_1} > {q_2}$, то второй корень нам не подходит.

Ответ: 2.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.1.15 Каждый из двух маленьких шариков положительно заряжен так, что их общий заряд
6.1.17 Два маленьких одинаковых шарика находятся на расстоянии 0,2 м и притягиваются
6.1.18 Вокруг отрицательного точечного заряда -5 нКл равномерно вращается