Условие задачи:

Два заряженных шара одинакового радиуса, массой 0,3 кг каждый, расположены на таком расстоянии друг от друга, что взаимодействие их зарядов уравновешивается силой взаимного тяготения. Найти радиусы шаров, если поверхностная плотность их зарядов равна 1,25 нКл/м².

Задача №6.1.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=0,3\) кг, \(F_{эл} = F_{тяг}\), \(\sigma=1,25\) нКл/м², \(r-?\)

Решение задачи:

Пусть расстояние между центрами шаров равно \(R\).

Согласно закону всемирного тяготения указанные шары одинаковой массы \(m\) будут притягиваться с силой \(F_{тяг}\), определяемой по формуле:

\[{F_{тяг}} = \frac{{G{m^2}}}{{{R^2}}}\]

В этой формуле \(G\) — гравитационная постоянная, равная 6,67·10^-11 Н·м²/кг².

Также между шарами из-за взаимодействия зарядов действует сила Кулона \(F_{эл}\), определяемая по формуле:

\[{F_{эл}} = \frac{{k{q^2}}}{{{R^2}}}\]

Здесь \(k\) — коэффициент пропорциональности, равный 9·10⁹ Н·м²/Кл².

Поскольку в условии задачи дана поверхностная плотность заряда \(\sigma\), то верна формула:

\[q = \sigma S\]

Здесь \(S\) — площадь поверхности шара, определяемая по известной формуле из математики:

\[S = 4\pi {r^2}\]

Тогда:

\[{F_{эл}} = \frac{{16k{\pi ^2}{\sigma ^2}{r^4}}}{{{R^2}}}\]

Поскольку взаимодействие зарядов шаров уравновешивается силой взаимного тяготения, то есть \(F_{эл} = F_{тяг}\), то имеем:

\[\frac{{G{m^2}}}{{{R^2}}} = \frac{{16k{\pi ^2}{\sigma ^2}{r^4}}}{{{R^2}}}\]

\[G{m^2} = 16k{\pi ^2}{\sigma ^2}{r^4}\]

\[r = \sqrt[4]{{\frac{{G{m^2}}}{{16k{\pi ^2}{\sigma ^2}}}}}\]

Задача решена в общем виде, остаётся только найти численный ответ:

\[r = \sqrt[4]{{\frac{{6,67 \cdot {{10}^{ — 11}} \cdot {{0,3}^2}}}{{16 \cdot 9 \cdot {{10}^9} \cdot {{3,14}^2} \cdot {{1,25}^2} \cdot {{10}^{ — 18}}}}}} = 0,04\;м\]

Ответ: 0,04 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.1.5 На двух одинаковых капельках воды находится по одному лишнему электрону
6.1.7 По теории Бора электрон в атоме водорода вращается вокруг ядра
6.1.8 В атоме водорода электрон движется вокруг протона с угловой скоростью