Условие задачи:

Две точки совершают гармонические колебания. Максимальная скорость первой точки 3 м/с. Какова максимальная скорость второй точки, если период её колебаний в 3 раза больше, а амплитуда колебаний в 6 раз больше, чем у первой?

Задача №9.1.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\upsilon_{\max1}=3$ м/с, $T_2=3T_1$, $A_2=6A_1$, $\upsilon_{\max2}-?$

Решение задачи:

Если точка совершает гармонические колебания, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:

$$x = A\sin \left( {\omega t} \right)$$

В этой формуле $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Чтобы найти уравнение скорости точки при этих колебаниях, нужно взять производную от уравнения колебаний. Тогда:

$$x^{\prime} = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)$$

Поэтому:

$$\upsilon = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)$$

Понятно, что максимальную скорость $\upsilon_{\max}$ следует искать следующим образом:

$${\upsilon _{\max }} = A\omega \;\;\;\;(1)$$

Циклическая частота колебаний $\omega$ и период колебаний $T$ связаны по известной формуле:

$$\omega = \frac{{2\pi }}{T}$$

Тогда формула (1) примет вид:

$${\upsilon _{\max }} = \frac{{2\pi A}}{T}$$

Запишем полученную формулу для двух «наших» точек:

$$\left\{ \begin{gathered} {\upsilon _{\max 1}} = \frac{{2\pi {A_1}}}{{{T_1}}} \hfill \\ {\upsilon _{\max 2}} = \frac{{2\pi {A_2}}}{{{T_2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Поделим нижнее уравнение на верхнее, тогда получим:

$$\frac{{{\upsilon _{\max 2}}}}{{{\upsilon _{\max 1}}}} = \frac{{{A_2}{T_1}}}{{{A_1}{T_2}}}$$

$${\upsilon _{\max 2}} = {\upsilon _{\max 1}}\frac{{{A_2}{T_1}}}{{{A_1}{T_2}}}$$

По условию период колебаний второй точки в 3 раза, а амплитуда колебаний в 6 раз больше, чем у первой, то есть $T_2=3T_1$ и $A_2=6A_1$, поэтому:

$${\upsilon _{\max 2}} = {\upsilon _{\max 1}}\frac{{6{A_1} \cdot {T_1}}}{{{A_1} \cdot 3{T_1}}}$$

$${\upsilon _{\max 2}} = 2{\upsilon _{\max 1}}$$

$${\upsilon _{\max 2}} = 2 \cdot 3 = 6\;м/с$$

Ответ: 6 м/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.1.3 За какое время от начала движения точка, колеблющаяся по закону x=7*sin(0,5*pi*t) (м)
9.1.5 За какой промежуток времени маятник, совершающий гармонические колебания
9.1.6 Тело совершает гармонические колебания. Период колебаний 0,15 с, максимальная