Условие задачи:

Элемент замыкают один раз сопротивлением 4 Ом, другой — резистором сопротивлением 9 Ом. В том и другом случае во внешней цепи выделяется одинаковая мощность. При каком внешнем сопротивлении она будет наибольшая?

Задача №7.4.54 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$R_1=4$ Ом, $R_2=9$ Ом, $P_1=P_2$, $R-?$

Решение задачи:

Известно, что наибольшая мощность выделяется во внешней цепи при внешнем сопротивлении $R$, равном внутреннему $r$ (будем использовать этот факт бездоказательно), то есть:

$$R = r\;\;\;\;(1)$$

Известно, что полезную мощность $P$ (т.е. мощность, выделяющуюся во внешней цепи) можно определить по такой формуле:

$$P = {I^2}R\;\;\;\;(2)$$

Силу тока в цепи $I$ найдем по закону Ома для полной цепи:

$$I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\;\;\;\;(3)$$

Подставим выражение для тока (3) в формулу (2):

$$P = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}$$

Отлично, тогда запишем эту формулу для двух значений сопротивления, описанных в условии:

$$\left\{ \begin{gathered} {P_1} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} \hfill \\ {P_2} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Так как сказано, что мощности $P_1$ и $P_2$ равны, то:

$$\frac{{{{\rm E}^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}}$$

$$\frac{{{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} = \frac{{{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}}$$

Чтобы решить это уравнение, перемножим «крест-накрест»:

$${R_1}{\left( {{R_2} + r} \right)^2} = {R_2}{\left( {{R_1} + r} \right)^2}$$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$${R_1}R_2^2 + 2{R_1}{R_2}r + {R_1}{r^2} = {R_2}R_1^2 + 2{R_1}{R_2}r + {R_2}{r^2}$$

$${R_1}R_2^2 + {R_1}{r^2} = {R_2}R_1^2 + {R_2}{r^2}$$

$${R_1}R_2^2 — {R_2}R_1^2 = {R_2}{r^2} — {R_1}{r^2}$$

$${R_1}{R_2}\left( {{R_2} — {R_1}} \right) = {r^2}\left( {{R_2} — {R_1}} \right)$$

$${r^2} = {R_1}{R_2}$$

$$r = \sqrt {{R_1}{R_2}} \;\;\;\;(4)$$

Учитывая (1), получим:

$$R = \sqrt {{R_1}{R_2}}$$

Посчитаем численный ответ:

$$R = \sqrt {4 \cdot 9} = 6\;Ом$$

Ответ: 6 Ом.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.4.53 При силе тока 2 А во внешней цепи выделяется мощность 24 Вт, а при силе тока 5 А — мощность 30 Вт
7.4.55 Сила тока, протекающего в проводнике, сопротивление которого равно 15 Ом, меняется
7.4.56 Лампу, рассчитанную на напряжение U1=220 В, включили в сеть с напряжением U2=110 В