Решение: Газовая нагревательная колонка потребляет 1,8 м3 метана (CH4) в час. Найти температуру

Условие задачи:

Газовая нагревательная колонка потребляет 1,8 м³ метана (CH₄) в час. Найти температуру воды, вытекающей из неё, если струя имеет скорость 0,5 м/с и диаметр 1 см, начальная температура воды и газа 11 °C, теплотворная способность метана 55 кДж/г. Газ в трубе находится под давлением 120 кПа. КПД нагревателя 60%.

Задача №5.1.41 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(V_0=1,8\) м³, \(\tau_0=1\) ч, \(\upsilon=0,5\) м/с, \(d=1\) см, \(t_1=11^\circ\) C, \(q=55\) кДж/г, \(p=120\) кПа, \(\eta=60\%\), \(t_2-?\)

Решение задачи:

Коэффициент полезного действия горелки \(\eta\) (КПД) равен отношению полезной работы горелки к затраченной работе.

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\]

Пусть за некоторое маленькое время \(\tau\) через нагревательную колонку протечёт вода массой \(m_1\), и в горелке сгорит газ массой \(m_2\). Тогда полезная работа горелки \(A_п\) равна количеству теплоты \(Q_1\), требуемой на нагревание воды массы \(m_1\), а затраченная работа \(A_з\) равна количеству теплоты \(Q_2\), выделяющейся при сгорании газа массой \(m_2\). Поэтому:

\[\eta = \frac{{{Q_1}}}{{{Q_2}}} \Rightarrow {Q_1} = \eta {Q_2}\;\;\;\;(1)\]

Распишем количество теплоты \(Q_1\) по известной формуле:

\[{Q_1} = c{m_1}\left( {{t_2} — {t_1}} \right)\]

Здесь \(c\) — удельная теплоёмкость воды, которая равна 4200 Дж/(кг·°C). Выразим искомую температуру \(t_2\):

\[{t_2} = \frac{{{Q_1}}}{{c{m_1}}} + {t_1}\]

Учитывая (1), формула изменится и примет такой вид:

\[{t_2} = \frac{{\eta {Q_2}}}{{c{m_1}}} + {t_1}\;\;\;\;(1)\]

За малое время \(\tau\) через колонку протечёт вода массой \(m_1\), которую можно найти по формуле:

\[{m_1} = \rho V\]

Плотность воды \(\rho\) равна 1000 кг/м³. Объем протёкшей воды \(V\) равен объему трубы, который займёт вода за время \(\tau\), её можно найти по формуле:

\[V = Sl = \frac{{\pi {d^2}\upsilon \tau }}{4}\]

Пояснение: \(S\) — это площадь поперечного сечения трубы (\(S = \frac{{\pi {d^2}}}{4}\)), \(l\) — расстояние, пройденное водой по трубе за время \(\tau\) (\(l = \upsilon \tau\)). Значит:

\[{m_1} = \frac{{\rho \pi {d^2}\upsilon \tau }}{4}\;\;\;\;(2)\]

Теперь разберёмся с газом. Если газ горит равномерно, то есть количество сгораемого газа за единицу времени одинаково, то справедливо равенство:

\[\frac{{{m_2}}}{\tau } = \frac{{{m_0}}}{{{\tau _0}}}\]

Значит за малое время \(\tau\) сгорает масса газа \(m_2\), которую можно найти по формуле:

\[{m_2} = {m_0}\frac{\tau }{{{\tau _0}}}\]

Массу сгораемой массы газа за час \(m_0\) найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева:

\[p{V_0} = \frac{{{m_0}}}{M}R{T_1}\]

\[{m_0} = \frac{{p{V_0}M}}{{R{T_1}}}\]

Тогда:

\[{m_2} = \frac{{p{V_0}M\tau }}{{R{T_1}{\tau _0}}}\]

Молярная масса метана \(M\) равна 16 г/моль (или 0,016 кг/моль). Обратите внимание, что температуру газа нужно подставлять выраженной в абсолютной шкале температур (то есть в Кельвинах).

Количество выделяемой при сгорании газа теплоты \(Q_2\) найдем так:

\[{Q_2} = q{m_2}\]

\[{Q_2} = \frac{{qp{V_0}M\tau }}{{R{T_1}{\tau _0}}}\;\;\;\;(3)\]

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1):

\[{t_2} = \frac{{4\eta qp{V_0}M\tau }}{{c\rho \pi {d^2}\upsilon \tau R{T_1}{\tau _0}}} + {t_1}\]

Видно, что в числителе и знаменателе присутствует малое время \(\tau\), а значит его можно сократить.

\[{t_2} = \frac{{4\eta qp{V_0}M}}{{c\rho \pi {d^2}\upsilon R{T_1}{\tau _0}}} + {t_1}\]

Переведём КПД \(\eta\), удельную теплоту сгорания метана \(q\), диаметр трубы \(d\), начальную температуру газа \(T_1\), время \(\tau_0\) в систему СИ:

\[60\% = 0,6\]

\[55\;кДж/г = 55 \cdot {10^6}\;Дж/кг\]

\[1\;см = 0,01\;м\]

\[11^\circ\;C = 284\;К\]

\[1\;ч = 3600\;с\]

Посчитаем численный ответ:

\[{t_2} = \frac{{4 \cdot 0,6 \cdot 55 \cdot {{10}^6} \cdot 120 \cdot {{10}^3} \cdot 1,8 \cdot 0,016}}{{4200 \cdot 1000 \cdot 3,14 \cdot {{0,01}^2} \cdot 0,5 \cdot 8,31 \cdot 284 \cdot 3600}} + 11 = 92,4^\circ\;C = 365,4\;К\]