Решение: Груз массой 0,2 кг, подвешенный на пружине, совершает 30 колебаний за 1 минуту

Условие задачи:

Груз массой 0,2 кг, подвешенный на пружине, совершает 30 колебаний за 1 минуту с амплитудой 0,1 м. Определить кинетическую энергию груза через 1/6 периода после момента прохождения грузом положения равновесия.

Задача №9.4.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=0,2\) кг, \(N=30\), \(\tau=1\) мин, \(A=0,1\) м, \(t=\frac{T}{6}\), \(E_к-?\)

Решение задачи:

Пусть груз совершает гармонические колебания на пружине по закону синуса, тогда уравнение этих колебаний в общем случае можно представить в виде (начальную фазу колебаний \(\varphi_0\) примем равной нулю):

\[x = A\sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Если взять производную от уравнения (1), то получим уравнение скорости:

\[\upsilon = A\omega \cos \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(2)\]

Циклическую частоту колебаний \(\omega\) найдем по формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\;\;\;\;(3)\]

Период колебаний \(T\) всегда можно определить по формуле:

\[T = \frac{\tau}{N}\]

Тогда формулу (3) можно будет записать в таком виде:

\[\omega = \frac{{2\pi N}}{\tau}\;\;\;\;(4)\]

Теперь формулу (3) подставляем в аргумент косинуса формулы (2), а формулу (4) — перед косинусом в ту же формулу, и также учтём, что по условию задачи \(t=\frac{T}{6}\):

\[\upsilon = \frac{{2\pi NA}}{\tau}\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T} \cdot \frac{T}{6}} \right)\]

\[\upsilon = \frac{{2\pi NA}}{\tau }\cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\;\;\;\;(5)\]

Кинетическую энергию груза \(E_к\) определим по формуле:

\[{E_к} = \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

Учитывая (5), имеем:

\[{E_к} = \frac{{4{\pi ^2}{N^2}m{A^2}{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}}{{2{\tau ^2}}}\]

Посчитаем численный ответ задачи:

\[{E_к} = \frac{{4 \cdot {{3,14}^2} \cdot {{30}^2} \cdot 0,2 \cdot {{0,1}^2} \cdot {{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}}{{2 \cdot {{60}^2}}} = 2,5 \cdot {10^{ — 3}}\;Дж = 2,5\;мДж\]