Решение: Груз, подвешенный на пружине, жесткость которой 1 кН/м, совершает косинусоидальные

Условие задачи:

Груз, подвешенный на пружине, жесткость которой 1 кН/м, совершает косинусоидальные колебания с амплитудой 2 см. Найти потенциальную энергию груза при фазе \(\frac{\pi }{3}\).

Задача №9.4.1 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(k=1\) кН/м, \(A=2\) см, \(\varphi=\frac{\pi}{3}\), \(E_п-?\)

Решение задачи:

Если пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону косинуса, то уравнение этих колебаний в общем случае можно представить в виде:

\[x = A\cos \left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний, \(\varphi_0\) — начальная фаза колебаний.

Если учесть, что аргумент косинуса \(\left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\) называется фазой колебаний \(\varphi\), то это уравнение можно записать в более простом виде:

\[x = A\cos \varphi \;\;\;\;(1)\]

Потенциальную энергию \(E_п\) определяют по следующей формуле:

\[{E_п} = \frac{{k{x^2}}}{2}\]

Если учесть выражение (1), то эта формула примет вид:

\[{E_п} = \frac{{k{A^2}{{\cos }^2}\varphi }}{2}\]

Мы получили решение этой задачи в общем виде, подставим данные из условия в эту формулу и посчитаем численный ответ:

\[{E_п} = \frac{{1000 \cdot {{0,02}^2} \cdot {{\cos }^2}\frac{{3,14}}{3}}}{2} = 0,05\;Дж\]