Решение: Имеется 5 одинаковых аккумуляторов с внутренним сопротивлением 1 Ом каждый

Условие задачи:

Имеется 5 одинаковых аккумуляторов с внутренним сопротивлением 1 Ом каждый. Определить, каким должно быть сопротивление внешней цепи, чтобы сила тока в ней была одинакова при последовательном и параллельном соединении этих аккумуляторов.

Задача №7.2.37 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(N=5\), \(r=1\) Ом, \(I_1=I_2\), \(R-?\)

Решение задачи:

Известно, что \(N\) последовательно соединенных источников с ЭДС, равной \(\rm E\), и внутренним сопротивлением, равным \(r\), можно заменить эквивалентным источником, у которого ЭДС будет равно \(N{\rm E}\), а внутреннее сопротивление — \(Nr\) (смотрите схему 1 справа). Тогда силу тока в цепи \(I_1\) в этом случае найдем по закону Ома для всей цепи по такой формуле:

\[{I_1} = \frac{{N{\rm E}}}{{R + Nr}}\]

Также известно, что \(N\) параллельно соединенных источников с ЭДС, равной \(\rm E\), и внутренним сопротивлением, равным \(r\), можно заменить эквивалентным источником, у которого ЭДС будет равно \(\rm E\), а внутреннее сопротивление — \(\frac{r}{N}\) (смотрите схему 2 справа). Силу тока в цепи \(I_2\) в этом случае найдем также по закону Ома для всей цепи, но уже по такой формуле:

\[{I_2} = \frac{{\rm E}}{{R + \frac{r}{N}}}\]

Так как по условию сила тока в цепи одинакова как при последовательном, так и при параллельном соединении этих аккумуляторов, то есть \(I_1=I_2\), то имеем следующее равенство:

\[\frac{{N{\rm E}}}{{R + Nr}} = \frac{{\rm E}}{{R + \frac{r}{N}}}\]

\[\frac{N}{{R + Nr}} = \frac{1}{{R + \frac{r}{N}}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[NR + r = R + Nr\]

\[NR — R = Nr — r\]

\[R\left( {N — 1} \right) = r\left( {N — 1} \right)\]

\[R = r\]

Значит численный ответ задачи такой:

\[R = 1\;Ом\]