Решение: Источники тока, имеющие одинаковые внутренние сопротивления r=0,5 Ом, подключены

Условие задачи:

Источники тока, имеющие одинаковые внутренние сопротивления \(r=0,5\) Ом, подключены к одинаковым резисторам \(R\). ЭДС источников тока \(\rm E_1=12\) В, \(\rm E_2=6\) В. Определите величину сопротивления \(R\), при котором ток, протекающий через источник \(\rm E_2\), равен нулю.

Задача №7.2.45 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(r=0,5\) Ом, \(\rm E_1=12\) В, \(\rm E_2=6\) В, \(I_2=0\), \(R-?\)

Решение задачи:

Приведенную в условии схему представим в измененном виде. Во-первых, покажем явно внутренние сопротивления источников, два параллельно соединенных сопротивления \(R\) представим в виде эквивалентного \(\frac{R}{2}\), также покажем потенциалы наиболее характерных точек.

Тогда можно три раза записать закон Ома для участка цепи и один раз первый закон Кирхгофа (сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из него):

\[\left\{ \begin{gathered}
{{\rm E}_1} — \varphi = {I_1}r \hfill \\
{{\rm E}_2} — \varphi = {I_2}r \hfill \\
\varphi — 0 = I\frac{R}{2} \hfill \\
{I_1} + {I_2} = I \;\;\;\;(1)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как по условию задачи ток \(I_2\), протекающий через источник \(\rm E_2\), равен нулю, то равенство (1) примет вид:

\[{I_1} = I\]

В таком случае система станет такой:

\[\left\{ \begin{gathered}
{{\rm E}_1} — \varphi = Ir \;\;\;\;(2)\hfill \\
{{\rm E}_2} = \varphi \;\;\;\;(3)\hfill \\
\varphi — 0 = I\frac{R}{2} \;\;\;\;(4)\hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из равенства (4) выразим искомое сопротивление \(R\):

\[R = \frac{{2\varphi }}{I}\]

Учитывая (3), имеем:

\[R = \frac{{2{{\rm E}_2}}}{I}\;\;\;\;(5)\]

Из равенств (2) и (3) получим:

\[{{\rm E}_1} — {{\rm E}_2} = Ir\]

Откуда ток \(I\) равен:

\[I = \frac{{{{\rm E}_1} — {{\rm E}_2}}}{r}\]

Полученное выражение подставим в (5), таким образом, мы получим решение этой задачи в общем виде:

\[R = \frac{{2{{\rm E}_2}r}}{{{{\rm E}_1} — {{\rm E}_2}}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[R = \frac{{2 \cdot 6 \cdot 0,5}}{{12 — 6}} = 1\;Ом\]