Условие задачи:

Из точки A вертикально вверх брошено тело с начальной скоростью 10 м/с. Когда оно достигло высшей точки своей траектории, из точки A бросают вертикально вверх тело с начальной скоростью 20 м/с. Через какое время после начала движения второго тела произойдет встреча этих тел?

Задача №1.4.18 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\upsilon_{01}=10\) м/с, \(\upsilon_{02}=20\) м/с, \(t_2-?\)

Решение задачи:

Запишем уравнения движения данных двух тел в проекции на ось \(y\). При этом учтем, что второе тело начинает двигаться позднее, через время \(t_1\), необходимое первому телу для достижения наивысшей точки подъема.

\[\left\{ \begin{gathered}
oy:y = {\upsilon _{01}}t — \frac{{g{t^2}}}{2} \hfill \\
oy:y = {\upsilon _{02}}\left( {t — {t_1}} \right) — \frac{{g{{\left( {t — {t_1}} \right)}^2}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Найдем время \(t_1\), для этого запишем уравнение скорости первого тела, спроецированное на ось \(y\). В верхней точке его скорость будет равна нулю, поэтому верно следующее.

\[\upsilon  = {\upsilon _{01}} — gt_1\]

\[\upsilon  = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g}\]

Когда два тела встретятся, их координаты будут равны, поэтому приравняем оба уравнения, которые мы записали в системе, раскроем скобки и перенесем слагаемые с неизвестным \(t\) в одну сторону.

\[{\upsilon _{02}}\left( {t — {t_1}} \right) — \frac{{g{{\left( {t — {t_1}} \right)}^2}}}{2} = {\upsilon _{01}}t — \frac{{g{t^2}}}{2}\]

\[{\upsilon _{02}}t — {\upsilon _{02}}{t_1} — \frac{{g{t^2}}}{2} + gt{t_1} — \frac{{gt_1^2}}{2} = {\upsilon _{01}}t — \frac{{g{t^2}}}{2}\]

\[t\left( {{\upsilon _{02}} — {\upsilon _{01}} + g{t_1}} \right) = {\upsilon _{02}}{t_1} + \frac{{gt_1^2}}{2}\]

Нам уже известно, что \({t_1} = \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g}\), поэтому:

\[t\left( {{\upsilon _{02}} — {\upsilon _{01}} + g\frac{{{\upsilon _{01}}}}{g}} \right) = {\upsilon _{02}}\frac{{{\upsilon _{01}}}}{g} + \frac{g}{2}\frac{{\upsilon _{01}^2}}{{{g^2}}}\]

\[t \cdot {\upsilon _{02}} = \frac{{{\upsilon _{01}} \cdot {\upsilon _{02}}}}{g} + \frac{{\upsilon _{01}^2}}{{2g}}\]

\[t = \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g} + \frac{{\upsilon _{01}^2}}{{2g{\upsilon _{02}}}}\]

Отлично, но мы нашли формулу для вычисления времени до встречи, отсчитываемое от момента броска первого тела. Поэтому, если мы хотим найти время \(t_2\) от момента броска второго тела до встречи двух тел в воздухе, то воспользуемся формулой:

\[{t_2} = t — {t_1}\]

\[{t_2} = \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g} + \frac{{\upsilon _{01}^2}}{{2g{\upsilon _{02}}}} — \frac{{{\upsilon _{01}}}}{g} = \frac{{\upsilon _{01}^2}}{{2g{\upsilon _{02}}}}\]

Подставим числа и сосчитаем ответ:

\[{t_2} = \frac{{{{10}^2}}}{{2 \cdot 10 \cdot 20}} = 0,25\; с = 250\; мс\]

Ответ: 250 мс.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

1.4.17 Камень, брошенный вертикально вверх, упал на Землю через 2 с. Определить
1.4.19 Камень упал в шахту. Определить глубину шахты, если звук от падения камня
1.4.20 Мяч брошен с земли вертикально вверх. На высоте 10 м он побывал два раза