Условие задачи:

Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим пластины плоского воздушного конденсатора с источником тока напряжением 6,3 В, при погружении конденсатора в керосин? Площадь пластины конденсатора 180 см², расстояние между пластинами 2 мм.

Задача №6.4.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$U=6,3$ В, $\varepsilon_2=2$, $S=180$ см², $d=2$ мм, $q-?$

Решение задачи:

Поскольку конденсатор всегда остается подключенным к источнику тока, то напряжение между его обкладками будет оставаться постоянным, то есть $U=const$. Запишем следующую формулу электроемкости и выразим из нее напряжение:

$$C = \frac{q}{U}$$

$$U = \frac{q}{C}$$

Применим последнюю формулу к двум наблюдаемым в задаче случаям:

$$\left\{ \begin{gathered} U = \frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} \hfill \\ U = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Искомый заряд $q$, прошедший по соединительным проводам, равен разности конечного $q_2$ и начального $q_1$ заряда конденсатора. Конечный заряд конденсатора больше начального — это хорошо видно из вышеприведенной системы, так как электроемкость конденсатора при заполнении его диэлектриком увеличится, а напряжение не изменится.

$$q = {q_2} — {q_1}\;\;\;\;(1)$$

Из верхнего равенства системы выразим начальный заряд конденсатора $q_1$:

$${q_1} = {C_1}U\;\;\;\;(2)$$

Также из системы следует следующее равенство:

$$\frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}}$$

Откуда конечный заряд $q_2$ равен:

$${q_2} = {q_1}\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}\;\;\;\;(3)$$

Электроемкость плоского конденсатора в общем случае определяют по формуле:

$$C = \frac{{\varepsilon {\varepsilon _0}S}}{d}$$

Используем последнюю формулу для определения начальной и конечной электроемкости нашего конденсатора:

$$\left\{ \begin{gathered} {C_1} = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{d} \hfill \\ {C_2} = \frac{{{\varepsilon _2}{\varepsilon _0}S}}{d} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Здесь $\varepsilon _1$ — диэлектрическая проницаемость воздуха, равная 1, а $\varepsilon _2$ — диэлектрическая проницаемость керосина, равная 2. Разделим нижнее равенство системы на верхнее, чтобы найти отношение $\frac{C_2}{C_1}$:

$$\frac{{{C_2}}}{{{C_1}}} = \frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}}$$

Тогда формула (3) примет следующий вид:

$${q_2} = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}}$$

Подставим это выражение в формулу (1):

$$q = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}} — {q_1}$$

$$q = {q_1}\left( {\frac{{{\varepsilon _2}}}{{{\varepsilon _1}}} — 1} \right)$$

$$q = {q_1}\frac{{{\varepsilon _2} — {\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _1}}}$$

Учитывая (2), имеем:

$$q = {C_1}U\frac{{{\varepsilon _2} — {\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _1}}}$$

Мы уже приводили формулу нахождения начальной емкости конденсатора $C_1$ (смотри систему выше). Если мы воспользуемся ей, то получим:

$$q = \frac{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _0}S}}{d}U\frac{{{\varepsilon _2} — {\varepsilon _1}}}{{{\varepsilon _1}}}$$

$$q = \frac{{{\varepsilon _0}\left( {{\varepsilon _2} — {\varepsilon _1}} \right)SU}}{d}$$

Поздравляю, задача решена. Чтобы найти численный ответ, нужно подставить значения физических величин в формулу, при этом обязательно переведя их в систему СИ, и произвести расчет:

$$q = \frac{{8,85 \cdot {{10}^{ — 12}} \cdot \left( {2 — 1} \right) \cdot 180 \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot 6,3}}{{2 \cdot {{10}^{ — 3}}}} = 5 \cdot {10^{ — 10}}\;Кл = 500\;пКл$$

Ответ: 500 пКл.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.20 Воздушный конденсатор емкостью 4 мкФ подключен к источнику 10 В. Какой заряд
6.4.22 Во сколько раз увеличится электроемкость плоского конденсатора, пластины которого
6.4.23 Две пластины конденсатора площадью 2 дм2 находятся в керосине на расстоянии 4 мм