Решение: Какую массу керосина нужно сжечь, чтобы вывести спутник массой 1000 кг на круговую

Условие задачи:

Какую массу керосина нужно сжечь, чтобы вывести спутник массой 1000 кг на круговую орбиту вблизи поверхности Земли, если КПД двигателя 23%?

Задача №5.1.42 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=1000\) кг, \(\eta=23\%\), \(m_2-?\)

Решение задачи:

Для начала запишем формулу для определения КПД двигателя. Коэффициент полезного действия (КПД) равен отношению полезной работы к затраченной:

\[\eta = \frac{{{A_п}}}{{{A_з}}}\;\;\;\;(1)\]

Чтобы спутник вывести на круговую орбиту вблизи поверхности Земли (то есть радиус орбиты приближенно равен радиусу Земли \(R\)), ему нужно сообщить первую космическую скорость \(\upsilon\). Её можно найти по формуле:

\[\upsilon = \sqrt {gR} \]

В этой формуле \(g\) — ускорение свободного падения вблизи Земли (\(g=10\) м/с²), \(R\) — радиус Земли (\(R=6400\) км).

Значит двигатель должен совершит полезную работу \(A_п\), которая равна изменению кинетической энергии спутника. Так как скорость спутника в начале равна нулю (относительно Земли), значит его начальная кинетическая энергия также равна нулю, поэтому полезную работу \(A_п\) найдем по формуле:

\[{A_п} = \frac{{{m_1}{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{{m_1}gR}}{2}\;\;\;\;(2)\]

Затраченная работа \(A_з\) равна количеству теплоты, выделяющейся при сгорании керосина, её найдем по формуле:

\[{A_з} = q{m_2}\;\;\;\;(3)\]

Удельная теплота сгорания керосина \(q\) равна 43 МДж/кг.

Выражения (2) и (3) подставим в формулу (1):

\[\eta = \frac{{{m_1}gR}}{{2q{m_2}}}\]

Откуда искомая масса керосина \(m_2\) равна:

\[{m_2} = \frac{{{m_1}gR}}{{2\eta q}}\]

Численно масса керосина \(m_2\) равна (КПД подставим в долях единицы):

\[{m_2} = \frac{{1000 \cdot 10 \cdot 6400 \cdot {{10}^3}}}{{2 \cdot 0,23 \cdot 43 \cdot {{10}^6}}} = 3235,6\;кг \approx 3,24\;т\]