Решение: Камень, брошенный вертикально вверх, упал на Землю через 2 с. Определить

Условие задачи:

Камень, брошенный вертикально вверх, упал на Землю через 2 с. Определить путь и перемещение камня за 2 с.

Задача №1.4.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t=2\) с, \(S-?\), \(\left| {\vec r} \right| — ?\)

Решение задачи:

Небольшое дополнение к условию задачи — автор имел в виду, что камень бросается с Земли, а не с какой-то высоты, как кто-нибудь мог бы подумать, и возвращается через 2 секунды также на Землю. В противном случае, решить задачу не представлялось бы возможным.

Сначала разберемся с перемещением камня \({\vec r}\). Перемещение — это вектор, проведенный из начального положения тела в конечное. Поскольку камень бросили вертикально вверх, и он вернулся в то же место, откуда его бросали, значит вектор перемещения равен нулевому вектору, а длина вектора перемещения (его модуль) равна нулю.

\[\vec r = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec r} \right| = 0\]

Путь — это скалярная величина, равная длине траектории, которое прошло тело. Очевидно, что в данном случае путь равен удвоенной максимальной высоте подъема камня. Осталось только найти последнюю.

\[S = 2h\;\;\;\;(1)\]

Если камень находился в воздухе 2 секунды, то падал обратно на Землю ровно половину этого времени, то есть одну секунду.

\[{t_{пад}} = \frac{t}{2}\;\;\;\;(2)\]

Поскольку камень с максимальной высоты будет падать уже без начальной скорости, то эту высоту можно найти по следующей формуле.

\[h = \frac{{gt_{пад}^2}}{2}\;\;\;\;(3)\]

Подставим (2) в (3), полученное выражение подставим в (1).

\[h = \frac{g}{2}\frac{{{t^2}}}{4} = \frac{{g{t^2}}}{8} \Rightarrow S = 2h = \frac{{g{t^2}}}{4}\]

\[S = \frac{{g{t^2}}}{4}\]

Подставим полное время полета и получим численный ответ к первому вопросу задачи.

\[S = \frac{{10 \cdot {2^2}}}{4} = 10\;м\]