Решение: Кислород массой 0,3 кг при температуре 320 К охладили изохорно так, что его давление

Условие задачи:

Кислород массой 0,3 кг при температуре 320 К охладили изохорно так, что его давление уменьшилось в 3 раза. Затем газ изобарно расширили до первоначальной температуры. Какую работу совершил газ?

Задача №5.4.29 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=0,3\) кг, \(T_1=320\) К, \(V=const\), \(p_1=3p_2\), \(p=const\), \(T_3=T_1\), \(A-?\)

Решение задачи:

Так как работа газа при изохорном процессе равна нулю, то искомая работа \(A\) равна работе газа при изобарном расширении (при изобарном нагревании объем газа увеличивается согласно закону Гей-Люссака). Её можно определить по формуле:

\[A = {p_2}\left( {{V_3} — {V_1}} \right) = {p_2}{V_3} — {p_2}{V_1}\;\;\;\;(1)\]

К сведению, работа газа равна площади фигуре под графиком процесса (на схеме — заштриховано). Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для состояния газа в точках 2 и 3:

\[\left\{ \begin{gathered}
{p_2}{V_1} = \frac{m}{M}R{T_2} \hfill \\
{p_2}{V_3} = \frac{m}{M}R{T_3} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Молярная масса кислорода (химическая формула O₂) равна 0,032 кг/моль.

Тогда формула (1) с учетом двух этих уравнений станет такой:

\[A = \frac{m}{M}R{T_3} — \frac{m}{M}R{T_2} = \frac{m}{M}R\left( {{T_3} — {T_2}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Процесс 1-2 — изохорный (\(V=const\)), запишем для этого процесса закон Шарля:

\[\frac{{{p_1}}}{{{T_1}}} = \frac{{{p_2}}}{{{T_2}}}\]

Откуда:

\[{T_2} = {T_1}\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}}\]

По условию давление кислорода уменьшилось в 3 раза, то есть \(p_1=3p_2\), поэтому:

\[{T_2} = {T_1}\frac{{{p_2}}}{{3{p_2}}} = \frac{{{T_1}}}{3}\;\;\;\;(3)\]

Также по условию \(T_3=T_1\), поэтому с учётом выражения (3) формула (2) примет вид:

\[A = \frac{m}{M}R\left( {{T_1} — \frac{{{T_1}}}{3}} \right) = \frac{{2m}}{{3M}}R{T_1}\]