Решение: Квадратная рамка со стороной 20 см расположена в магнитном поле так

Условие задачи:

Квадратная рамка со стороной 20 см расположена в магнитном поле так, что её плоскость образует угол 30° с направлением поля. Индукция поля изменяется с течением времени по закону $B = {B_0}\cos \left( {\omega t} \right)$ , где $B_0=0,2$ Тл, $\omega=3141$ рад/мин. Определить ЭДС индукции в рамке в момент времени 4 с.

Задача №8.4.68 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$a=20$ см, $\beta=30^\circ$ , $B = {B_0}\cos \left( {\omega t} \right)$ , $B_0=0,2$ Тл, $\omega=3141$ рад/мин, $t=4$ c, $\rm E_i-?$

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток $\Phi$ через некоторую плоскую поверхность, помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

$\Phi = BS\cos \alpha \;\;\;\;(1)$

В этой формуле $B$ — индукция магнитного поля, $S$ — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, $\alpha$ — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Данный в условии угол $\beta$ связан с углом $\alpha$ по простой формуле:

$\alpha = 90^\circ — \beta$

Если сторона квадратной рамки равна $a$ , то её площадь $S$ найдем по формуле:

$S = {a^2}$

Учитывая вышенаписанное и то, что магнитное поле изменяется по закону $B = {B_0}\cos \left( {\omega t} \right)$ , формула (1) примет вид:

$\Phi = {B_0}\cos \left( {\omega t} \right) {a^2} \cos \left( {90^\circ — \beta } \right)$

$\Phi = {B_0} {a^2} \sin \beta \cos \left( {\omega t} \right)$

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока (то есть первой производной функции изменения потока от времени):

${\rm E_i} = — \Phi ^\prime \left( t \right)$

Тогда:

${{\rm E}_i} = — {\left( {{B_0} {a^2} \sin \beta \cos \left( {\omega t} \right)} \right)^\prime }$

${{\rm E}_i} = {B_0} {a^2} \omega \sin \beta \sin \left( {\omega t} \right)$

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ (не забывайте переводить данные задачи в систему СИ; если Вы будете считать также, как и мы ниже, то представление углов в калькуляторе нужно перевести в RAD):

${{\rm E}_i} = 0,2 \cdot {0,2^2} \cdot \frac{{3141}}{{60}} \cdot \sin \frac{\pi }{6} \cdot \sin \left( {\frac{{3141}}{{60}} \cdot 4} \right) = 0,185\;В$