Условие задачи:

Лестница составляет с землей угол 70° и опирается о вертикальную гладкую стену. Найдите силу реакции, которая действует на лестницу со стороны земли, если человек массой 70 кг поднялся по лестнице на две трети её длины. Массой лестницы пренебречь.

Задача №3.1.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=70^\circ\), \(M=70\) кг, \(l=\frac{2L}{3}\), \(N_1-?\)

Решение задачи:

На лестницу действуют три силы: сила тяжести человека \(Mg\), сила реакции со стороны пола \(N_1\) и сила реакции со стороны стенки \(N_2\). Сила \(N_2\) направлена горизонтально, так как стенка гладкая, т.е. трение о стенку отсутствует, а сила \(N_1\) ориентирована под неизвестным углом \(\beta\) к горизонту.

Запишем первое условие равновесия (первый закон Ньютона) в проекции на обе оси координат:

\[\left\{ \begin{gathered}
{N_1} \cdot \sin \beta = Mg \hfill \\
{N_1} \cdot \cos \beta = {N_2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Возведем оба равенства в квадрат и сложим, тогда:

\[N_1^2\left( {{{\sin }^2}\beta  + {{\cos }^2}\beta } \right) = {M^2}{g^2} + N_2^2\]

Основное тригонометрическое тождество гласит, что \({\sin ^2}\beta  + {\cos ^2}\beta  = 1\), поэтому:

\[N_1^2 = {M^2}{g^2} + N_2^2\]

\[{N_1} = \sqrt {{M^2}{g^2} + N_2^2} \;\;\;\;(1)\]

Чтобы найти значение силы \(N_2\), запишем правило моментов (второе условие равновесия) относительно точки O.

\[Mg \cdot l \cdot \cos \alpha  — {N_2} \cdot L \cdot \sin \alpha  = 0\]

По условию \(l=\frac{2L}{3}\), тогда:

\[Mg \cdot \frac{{2L}}{3} \cdot \cos \alpha  — {N_2} \cdot L \cdot \sin \alpha  = 0\]

\[{N_2} = \frac{{2Mg}}{3} \cdot ctg\alpha \;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

\[{N_1} = \sqrt {{M^2}{g^2} + \frac{{4{M^2}{g^2}}}{9} \cdot ct{g^2}\alpha } \]

В итоге окончательная формула выглядит так:

\[{N_1} = Mg\sqrt {1 + \frac{{4ct{g^2}\alpha }}{9}} \]

Произведем вычисление ответа:

\[{N_1} = 70 \cdot 10 \cdot \sqrt {1 + \frac{{4 \cdot ct{g^2}70^\circ }}{9}}  = 720\;Н = 0,72\;кН\]

Ответ: 0,72 кН.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

3.1.23 Подъемное устройство состоит из однородного стержня длиной L=2,5 м и массой m=5 кг
3.1.25 Стержень длиной l и массой m одним концом упирается в вертикальную стенку
3.1.26 К вертикальной гладкой стене подвешен на тросе AB однородный шар массы M