Решение: Медная проволока при 0 C имеет сопротивление R. До какой температуры надо нагреть

Условие задачи:

Медная проволока при 0 °C имеет сопротивление \(R_0\). До какой температуры надо нагреть проволоку, чтобы ее сопротивление увеличилось в 2 раза?

Задача №7.1.17 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_0=0^\circ\) C, \(R_0\), \(R=2R_0\), \(t-?\)

Решение задачи:

Зависимость сопротивления проводника от температуры описывается следующей формулой:

\[R = {R_0}\left( {1 + \alpha t} \right)\]

Здесь \(R\) — искомое сопротивление при температуре \(t\), \(R_0\) — сопротивление при температуре \(t_0\) (в данном случае \(t_0=0^\circ\) C), \(\alpha\) — температурный коэффициент сопротивления, равный для меди 0,0043 1/°C, \(t\) — температура (в градусах Цельсия), при которой нужно найти сопротивление проводника.

Известно, что сопротивление медного проводника при температуре \(t_0\) равно \(R_0\), а при искомой температуре \(t\) равно \(R\), поэтому можем получить такую систему:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_0} = {R_0}\left( {1 + \alpha {t_0}} \right) \hfill \\
R = {R_0}\left( {1 + \alpha t} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

По условию сопротивление проволоки увеличилось в 2 раза, то есть \(R=2R_0\), поэтому:

\[\left\{ \begin{gathered}
{R_0} = {R_0}\left( {1 + \alpha {t_0}} \right) \hfill \\
2{R_0} = {R_0}\left( {1 + \alpha t} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Сократим левую и правую часть обеих уравнений на \(R_0\), тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
1 = 1 + \alpha {t_0} \hfill \\
2 = 1 + \alpha t \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Вычтем из нижнего равенства верхнее, тогда:

\[1 = \alpha \left( {t — {t_0}} \right)\]

\[t — {t_0} = \frac{1}{\alpha }\]

В итоге получим:

\[t = {t_0} + \frac{1}{\alpha }\]

Посчитаем численный ответ к этой задаче:

\[t = 0 + \frac{1}{{0,0043}} = 232,2^\circ\;C = 505,6\;К\]