Решение: Медный обруч массой 5 кг расположен в плоскости магнитного меридиана. Какой заряд

Условие задачи:

Медный обруч массой 5 кг расположен в плоскости магнитного меридиана. Какой заряд протечет по нему, если его повернуть вокруг вертикальной оси на 90°? Горизонтальная составляющая магнитного поля Земли 20 мкТл.

Задача №8.4.61 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m=5\) кг, \(\Delta \alpha=90^\circ\), \(B=20\) мкТл, \(q-?\)

Решение задачи:

В общем случае магнитный поток \(\Phi\) через некоторую плоскую поверхность (в нашем случае — обруч), помещённую в однородном магнитном поле, можно определить по такой формуле:

\[\Phi = BS\cos \alpha\;\;\;\;(1) \]

В этой формуле \(B\) — индукция магнитного поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую определяется магнитный поток, \(\alpha\) — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции.

Если в начале медный обруч расположен в плоскости магнитного меридиана, значит угол \(\alpha_1\) равен 90°. После поворота обруча на угол \(\Delta \alpha\) угол \(\alpha_2\) станет равным \(\left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right)\) (хотя здесь возможен и знак «+», на решение и конечный результат это не окажет влияния).

В таком случае запишем формулу (1) для определения начального и конечного магнитного потока \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\Phi _1} = BS\cos {\alpha _1} \hfill \\
{\Phi _2} = BS\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) в таком случае равно:

\[\Delta \Phi = BS\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right)\;\;\;\;(2)\]

Понятно, что из-за изменения магнитного потока в обруче будет возникать ЭДС индукции. Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

С учетом выражения (2) ЭДС индукции равна:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{BS\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right)}}{{\Delta t}}\]

Также из закона Ома следует, что:

\[{{\rm E}_i} = IR\]

В этой формуле \(I\) — сила тока в обруче при его повороте, \(R\) — сопротивление обруча.

Тогда имеем:

\[\frac{{BS\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right)}}{{\Delta t}} = IR\]

Домножим обе части уравнения на время \(\Delta t\):

\[BS\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right) = I\Delta tR\]

Произведение силы тока \(I\) на время \(\Delta t\) даёт протекший через обруч заряд \(q\), значит:

\[BS\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right) = qR\]

Откуда заряд \(q\) равен:

\[q = \frac{{BS\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right)}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Площадь обруча \(S\) можно определить через его диаметр \(d\) по формуле:

\[S = \frac{{\pi {d^2}}}{4}\;\;\;\;(4)\]

Сопротивление обруча \(R\) определим через диаметр обруча \(d\) и площадь поперечного сечения обруча \(S_{пр}\):

\[R = \rho_{эл} \frac{{\pi d}}{{{S_{пр}}}}\;\;\;\;(5)\]

В этой формуле \(\rho_{эл}\) — удельное электрическое сопротивление меди, равное 17 нОм·м.

Подставим выражения (4) и (5) в формулу (3):

\[q = \frac{{B\pi {d^2}{S_{пр}}\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right)}}{{4{\rho _{эл}}\pi d}}\]

\[q = \frac{{Bd{S_{пр}}\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right)}}{{4{\rho _{эл}}}}\;\;\;\;(6)\]

В условии задачи дана масса обруча \(m\), распишем её следующим образом:

\[m = \rho {S_{пр}}\pi d\;\;\;\;(7)\]

Здесь \(\rho\) — плотность меди, равная 8900 кг/м³.

Из уравнения (7) имеем:

\[{S_{пр}}d = \frac{m}{{\pi \rho }}\;\;\;\;(8)\]

Учитывая полученное равенство (8), формула (6) примет вид:

\[q = \frac{{Bm\left( {\cos \left( {{\alpha _1} — \Delta \alpha } \right) — \cos {\alpha _1}} \right)}}{{4\pi \rho {\rho _{эл}}}}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

\[q = \frac{{20 \cdot {{10}^{ — 6}} \cdot 5 \cdot \left( {\cos \left( {90^\circ — 90^\circ } \right) — \cos 90^\circ } \right)}}{{4 \cdot 3,14 \cdot 8900 \cdot 17 \cdot {{10}^{ — 9}}}} = 0,053\;Кл\]