Решение: Мгновенное значение силы синусоидального тока через 1/3 периода равно 2,6 А

Условие задачи:

Мгновенное значение силы синусоидального тока через 1/3 периода равно 2,6 А. Какой будет сила тока при фазе \(1,5 \pi\)?

Задача №9.7.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(t_1=\frac{T}{3}\), \(I_1=2,6\) А, \(\varphi_2=1,5\pi\), \(I_2-?\)

Решение задачи:

Уравнение колебаний силы тока в контуре, изменяющегося по закону синуса, в общем виде выглядит так:

\[I = {I_m}\sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(I_m\) — максимальное (амплитудное) значение силы тока, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Циклическая частота колебаний \(\omega\) связана с периодом колебаний \(T\) по формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\]

Тогда уравнение (1) можно записать в таком виде:

\[I = {I_m}\sin \left( {\frac{{2\pi t}}{T}} \right)\]

Учитывая, что аргумент синуса \(\left( {\omega t} \right)\) является фазой колебаний \(\varphi\), то уравнение (1) также можно записать в виде:

\[I = {I_m}\sin \varphi \]

Если вернуться теперь к условию задачи, то мы можем записать следующие уравнения:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = {I_m}\sin \left( {\frac{{2\pi {t_1}}}{T}} \right) \hfill \\
{I_2} = {I_m}\sin {\varphi _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Так как по условию задачи \(t_1=\frac{T}{3}\), то имеем:

\[\left\{ \begin{gathered}
{I_1} = {I_m}\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) \hfill \\
{I_2} = {I_m}\sin {\varphi _2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Поделим нижнее уравнение на верхнее:

\[\frac{{{I_2}}}{{{I_1}}} = \frac{{\sin {\varphi _2}}}{{\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\]

Откуда сила тока \(I_2\) равна:

\[{I_2} = {I_1}\frac{{\sin {\varphi _2}}}{{\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем численный ответ:

\[{I_2} = 2,6 \cdot \frac{{\sin 1,5\pi }}{{\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = — 3\;А\]