Решение: Мощность, выделяемая на резисторе, подключенном к источнику тока с ЭДС 3,0 В

Условие задачи:

Мощность, выделяемая на резисторе, подключенном к источнику тока с ЭДС 3,0 В и внутренним сопротивлением 1 Ом, равна 2 Вт. Определить минимальную силу тока в цепи.

Задача №7.4.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\rm E=3,0\) В, \(r=1\) Ом, \(P=2\) Вт, \(I_{\min}-?\)

Решение задачи:

Мощность \(P\), выделяемая на резисторе, можно найти по формуле:

\[P = UI\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(I\) — сила тока в цепи, а \(U\) — напряжение на внешней цепи, которое можно найти так (по сути из закона Ома для полной цепи):

\[U = {\rm E} — Ir\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), получим:

\[P = \left( {{\rm E} — Ir} \right)I\]

Если раскрыть скобки в правой части и перенести все члены в левую часть, то мы получим такое уравнение относительно \(I\):

\[{I^2}r — {\rm E}I + P = 0\]

Дискриминант этого уравнения равен:

\[D = {{\rm E}^2} — 4Pr\]

Поэтому корни квадратного уравнения следующие:

\[\left[ \begin{gathered}
I = \frac{{{\rm E} + \sqrt {{{\rm E}^2} — 4Pr} }}{{2r}} \hfill \\
I = \frac{{{\rm E} — \sqrt {{{\rm E}^2} — 4Pr} }}{{2r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Очевидно, что искомой минимальной силе тока \(I_{\min}\) соответствует второй корень:

\[{I_{\min }} = \frac{{{\text{E}} — \sqrt {{{\text{E}}^2} — 4Pr} }}{{2r}}\]

Задача решена в общем виде, подставим исходные данные задачи в полученную формулу и посчитаем ответ:

\[{I_{\min }} = \frac{{3 — \sqrt {{3^2} — 4 \cdot 2 \cdot 1} }}{{2 \cdot 1}} = 1\;А\]