Условие задачи:

На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества планеты 3000 кг/м³. Определить период обращения планеты около собственной оси.

Задача №2.5.16 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$P_э=\frac{1}{2}P_п$, $\rho=3000$ кг/м³, $T-?$

Решение задачи:

Тело на экваторе вращается вместе с планетой по окружности радиуса $R$, поэтому второй закон Ньютона будет записан в следующем виде:

$$mg — {N_э} = m{a_ц}$$

Тело на полюсе вращается вокруг себя, так как ось вращения планеты проходит через его центр масс. Первый закон Ньютона для этого тела выглядит так:

$$mg = {N_п}$$

Сила реакции опоры равна весу тела по третьему закону Ньютона. Значит $N_э=P_э$ и $N_п=P_п$. Записав в другом виде полученные ранее равенства, получим такую систему:

$$\left\{ \begin{gathered} {P_э} = mg — m{a_ц} \hfill \\ {P_п} = mg \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Поделим первое равенство на второе. Учитывая, что по условию $P_э=\frac{1}{2}P_п$, имеем:

$$\frac{{g — {a_ц}}}{g} = \frac{1}{2}$$

$$2g — 2{a_ц} = g$$

$$g = 2{a_ц}\;\;\;\;(1)$$

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности планеты можно найти по формуле:

$$g = G\frac{M}{{{R^2}}}$$

Масса планеты равна произведению её средней плотности на объем:

$$M = \rho  \cdot V$$

Объем сферической планеты определим по известной из математики формуле:

$$V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$$

Тогда:

$$M = \frac{4}{3}\pi {R^3}\rho$$

$$g = \frac{4}{3}\pi G\frac{{\rho {R^3}}}{{{R^2}}}$$

$$g = \frac{4}{3}\pi G\rho R\;\;\;\;(2)$$

Центростремительное ускорение $a_ц$ зависит от угловой скорости $\omega$ и радиуса $R$.

$${a_ц} = {\omega ^2}R$$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом $T$ по такой формуле:

$$\omega  = \frac{{2\pi }}{T}$$

Значит:

$${a_ц} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}R\;\;\;\;(3)$$

Подставим выражения (2) и (3) в полученное ранее равенство (1):

$$\frac{4}{3}\pi G\rho R = \frac{{8{\pi ^2}}}{{{T^2}}}R$$

$$\frac{1}{3}G\rho  = \frac{{2\pi }}{{{T^2}}}$$

$$T = \sqrt {\frac{{6\pi }}{{G\rho }}}$$

Посчитаем ответ:

$$T = \sqrt {\frac{{6 \cdot 3,14}}{{6,67 \cdot {{10}^{ — 11}} \cdot 3000}}}  = 9703\; с = 161,7\; мин$$

Ответ: 161,7 мин.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.5.15 Определить плотность шарообразной планеты, если вес тела на полюсе в 2 раза больше
2.5.17 На экваторе некоторой планеты тела весят втрое меньше, чем на полюсе. Период
2.5.18 Тело поднялось на высоту 1600 км над поверхностью Земли. На сколько процентов