Решение: Напряжение на конденсаторе в идеальном колебательном контуре изменяется

Условие задачи:

Напряжение на конденсаторе в идеальном колебательном контуре изменяется по закону \(U = 50\cos \left( {{{10}^5}t} \right)\) (В), при этом максимальное значение заряда конденсатора равно 5 мкКл. Определите индуктивность катушки контура.

Задача №9.7.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(U = 50\cos \left( {{{10}^5}t} \right)\), \(Q_m=5\) мкКл, \(L-?\)

Решение задачи:

Уравнение колебаний напряжения в колебательном контуре в общем виде выглядит так:

\[U = {U_m}\cos \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(U_m\) — максимальное (амплитудное) значение напряжения, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Сравнивая уравнение (1) с данным в условии уравнением получим, что циклическая частота колебаний \(\omega\) равна \(10^5\) рад/с, а максимальное значение напряжения \(U_m\) равно 50 В.

Циклическую частоту колебаний в контуре \(\omega\) можно найти по формуле:

\[\omega = \sqrt {\frac{1}{{LC}}} \]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — емкость конденсатора.

Возведем в квадрат обе части этого равенства, тогда:

\[{\omega ^2} = \frac{1}{{LC}}\;\;\;\;(2)\]

Емкость конденсатора \(C\) можно найти по следующей формуле:

\[C = \frac{{{Q_m}}}{{{U_m}}}\]

Тогда формула (2) примет следующий вид:

\[{\omega ^2} = \frac{{{U_m}}}{{L{Q_m}}}\]

Значит индуктивность катушки \(L\) равна:

\[L = \frac{{{U_m}}}{{{\omega ^2}{Q_m}}}\]

Задача решена в общем виде, подставим численные данные в полученную формулу и посчитаем численный ответ: