Решение: Найти угол падения луча на поверхность воды, если известно, что он больше угла

Условие задачи:

Найти угол падения луча на поверхность воды, если известно, что он больше угла преломления на 10°.

Задача №10.3.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\gamma = 10^\circ\), \(\alpha-?\)

Решение задачи:

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta \]

Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) — угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления воды \(n_2\) равен 1,33.

По условию задачи угол падения больше угла преломления на величину \(\gamma\), то есть \(\beta = \alpha — \gamma\), тогда:

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \left( {\alpha — \gamma } \right)\]

Раскроем синус разности в правой части этого уравнения:

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \alpha \cos \gamma — {n_2}\cos \alpha \sin \gamma \]

Перенесем все в левую часть и сгруппируем:

\[{n_1}\sin \alpha — {n_2}\sin \alpha \cos \gamma + {n_2}\cos \alpha \sin \gamma = 0\]

\[\left( {{n_1} — {n_2}\cos \gamma } \right)\sin \alpha + {n_2}\sin \gamma \cos \alpha = 0\]

Выражения вида \(A\sin x + B\cos x\) приводятся к виду \(C\sin \left( {x + t} \right)\), где \(C = \sqrt {{A^2} + {B^2}}\) и \(t = arctg\frac{B}{A}\). Поэтому:

\[\sqrt {{{\left( {{n_1} — {n_2}\cos \gamma } \right)}^2} + {{\left( {{n_2}\sin \gamma } \right)}^2}} \sin \left( {\alpha + arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_1} — {n_2}\cos \gamma }}} \right) = 0\]

Так как множитель перед синусом точно не равен нулю, имеем:

\[\sin \left( {\alpha + arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_1} — {n_2}\cos \gamma }}} \right) = 0\]

Синус равен нулю, когда его аргумент равен нулю:

\[\alpha + arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_1} — {n_2}\cos \gamma }} = 0\]

\[\alpha = — arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_1} — {n_2}\cos \gamma }}\]

Так как арктангенс — нечетная функция, то минус можно внести в знаменатель аргумента. Окончательно получим:

\[\alpha = arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_2}\cos \gamma — {n_1}}}\]

Посчитаем численный ответ:

\[\alpha = arctg\frac{{1,33 \cdot \sin 10^\circ }}{{1,33 \cdot \cos 10^\circ — 1}} = 36,7^\circ \]