Условие задачи:

Найти угол падения луча на поверхность воды, если известно, что он больше угла преломления на 10°.

Задача №10.3.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\gamma = 10^\circ$, $\alpha-?$

Решение задачи:

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

$${n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta$$

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — угол падения и угол преломления соответственно, $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха $n_1$ равен 1, показатель преломления воды $n_2$ равен 1,33.

По условию задачи угол падения больше угла преломления на величину $\gamma$, то есть $\beta = \alpha — \gamma$, тогда:

$${n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \left( {\alpha — \gamma } \right)$$

Раскроем синус разности в правой части этого уравнения:

$${n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \alpha \cos \gamma — {n_2}\cos \alpha \sin \gamma$$

Перенесем все в левую часть и сгруппируем:

$${n_1}\sin \alpha — {n_2}\sin \alpha \cos \gamma + {n_2}\cos \alpha \sin \gamma = 0$$

$$\left( {{n_1} — {n_2}\cos \gamma } \right)\sin \alpha + {n_2}\sin \gamma \cos \alpha = 0$$

Выражения вида $A\sin x + B\cos x$ приводятся к виду $C\sin \left( {x + t} \right)$, где $C = \sqrt {{A^2} + {B^2}}$ и $t = arctg\frac{B}{A}$. Поэтому:

$$\sqrt {{{\left( {{n_1} — {n_2}\cos \gamma } \right)}^2} + {{\left( {{n_2}\sin \gamma } \right)}^2}} \sin \left( {\alpha + arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_1} — {n_2}\cos \gamma }}} \right) = 0$$

Так как множитель перед синусом точно не равен нулю, имеем:

$$\sin \left( {\alpha + arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_1} — {n_2}\cos \gamma }}} \right) = 0$$

Синус равен нулю, когда его аргумент равен нулю:

$$\alpha + arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_1} — {n_2}\cos \gamma }} = 0$$

$$\alpha = — arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_1} — {n_2}\cos \gamma }}$$

Так как арктангенс — нечетная функция, то минус можно внести в знаменатель аргумента. Окончательно получим:

$$\alpha = arctg\frac{{{n_2}\sin \gamma }}{{{n_2}\cos \gamma — {n_1}}}$$

Посчитаем численный ответ:

$$\alpha = arctg\frac{{1,33 \cdot \sin 10^\circ }}{{1,33 \cdot \cos 10^\circ — 1}} = 36,7^\circ$$

Ответ: 36,7°.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.3.13 Под каким углом должен падать луч на поверхность стекла, чтобы угол преломления был
10.3.15 Луч белого света падает на поверхность воды под углом 60°. Чему равен угол
10.3.16 Определить на какой угол отклоняется узкий световой пучок от своего первоначального