Решение: Определить ЭДС аккумулятора, если при нагрузке в 5 А он отдает во внешнюю цепь 10 Вт

Условие задачи:

Определить ЭДС аккумулятора, если при нагрузке в 5 А он отдает во внешнюю цепь 10 Вт, а при сопротивлении внешней цепи 0,25 Ом — 16 Вт.

Задача №7.4.43 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(I_1=5\) А, \(P_1=10\) Вт, \(R_2=0,25\) Ом, \(P_2=16\) Вт, \(\rm E-?\)

Решение задачи:

Известно, что мощность, выделяющуюся во внешней цепи, можно определить то такой формуле:

\[P = {I^2}R\;\;\;\;(1)\]

Воспользуемся этой формулой, чтобы найти сопротивление внешней цепи \(R_1\), при котором течет ток \(I_1\):

\[{P_1} = I_1^2{R_1} \Rightarrow {R_1} = \frac{{{P_1}}}{{I_1^2}}\]

Решать задачу в общем виде не будем, сразу посчитаем значение сопротивления \(R_1\):

\[{R_1} = \frac{{10}}{{{5^2}}} = 0,4\;Ом\]

Продолжим свои рассуждения, запишем закон Ома для полной цепи:

\[I = \frac{{\rm E}}{{R + r}}\]

Тогда формула (1) примет такой вид:

\[P = \frac{{{{\rm E}^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}\]

Отлично, тогда запишем эту формулу для двух случаев, говорящихся в условии этой задачи:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_1} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_1}}}{{{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}} \hfill \\
{P_2} = \frac{{{{\rm E}^2}{R_2}}}{{{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Разделим верхнее равенство на нижнее:

\[\frac{{{P_1}}}{{{P_2}}} = \frac{{{R_1}{{\left( {{R_2} + r} \right)}^2}}}{{{R_2}{{\left( {{R_1} + r} \right)}^2}}}\]

Решим это уравнение с одной неизвестной \(r\), для чего подставим численные значения входящих величин:

\[\frac{{10}}{{16}} = \frac{{0,4 \cdot {{\left( {0,25 + r} \right)}^2}}}{{0,25 \cdot {{\left( {0,4 + r} \right)}^2}}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[2,5{\left( {0,4 + r} \right)^2} = 6,4{\left( {0,25 + r} \right)^2}\]

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

\[0,4 + 2r + 2,5{r^2} = 0,4 + 3,2r + 6,4{r^2}\]

\[2r + 2,5{r^2} = 3,2r + 6,4{r^2}\]

\[3,9{r^2} + 1,2r = 0\]

\[r\left( {3,9r + 1,2} \right) = 0\]

\[\left[ \begin{gathered}
r = 0 \hfill \\
r = — \frac{{12}}{{39}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Понятно, что внутреннее сопротивление отрицательным быть не может, значит оно все-таки равно нулю. Тогда ЭДС \(\rm E\) можно найти по одной из этих формул (мы же воспользуемся первой):

\[\left[ \begin{gathered}
{\rm E} = {I_1}{R_1} \hfill \\
{\rm E} = \sqrt {{P_2}{R_2}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

\[{\rm E} = 5 \cdot 0,4 = 2\;В\]