Условие задачи:

Открытую стеклянную трубку длиной 1 м наполовину погружают в ртуть. Затем трубку закрывают пальцем и вынимают. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление равно 750 мм. рт. ст.

Задача №4.3.35 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(L=1\) м, \(h_{рт.ст}=750\) мм, \(h-?\)

Решение задачи:

Приведем справа рисунок, поясняющий решение задачи. Что рассмотреть его подробнее, кликните на нем мышью, а когда изображение «всплывет», кликните на нем правой кнопкой и выберите «Открыть в фоновой вкладке». Тогда откроется новая вкладка с этим изображением, и вы сможете посмотреть все детали рисунка.

На рисунке показан момент, когда уже погруженную трубку закрыли пальцем и когда ее полностью вытащили из ртути.

В процессе вытаскивания трубки над газом будет производиться изотермический процесс (\(T=const\)), поэтому запишем закон Бойля-Мариотта:

\[{p_{атм}}{V_0} = {p_1}{V_1}\]

Очевидно, что \({V_0} = S\frac{L}{2}\) и \({V_1} = S\left( {L — h} \right)\), где \(S\) — площадь сечения трубки. Тогда закон Бойля-Мариотта примет следующий вид:

\[{p_{атм}}S\frac{L}{2} = {p_1}S\left( {L — h} \right)\]

\[{p_{атм}}\frac{L}{2} = {p_1}\left( {L — h} \right)\;\;\;\;(1)\]

Для момента, когда трубку полностью вытащат из ртути, справедливо (по закону Паскаля):

\[{p_1} + \rho gh = {p_{атм}}\;\;\;\;(2)\]

Из формулы (1) выразим \(p_1\):

\[{p_1} = {p_{атм}}\frac{L}{{2\left( {L — h} \right)}}\]

Также запишем формулу для расчета атмосферного давления в следующем виде:

\[{p_{атм}} = \rho g{h_{рт.ст}}\]

Подставим \(p_1\) и \(p_{атм}\) в выражение (2):

\[\rho g{h_{рт.ст}}\frac{L}{{2\left( {L — h} \right)}} + \rho gh = \rho g{h_{рт.ст}}\]

Сократим все члены на \(\rho g\), после домножим на \(2(L-h)\):

\[{h_{рт.ст}}\frac{L}{{2\left( {L — h} \right)}} + h = {h_{рт.ст}}\]

\[{h_{рт.ст}}L + 2h\left( {L — h} \right) = 2{h_{рт.ст}}\left( {L — h} \right)\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[{h_{рт.ст}}L + 2hL — 2{h^2} = 2{h_{рт.ст}}L — 2{h_{рт.ст}}h\]

\[2{h^2} — 2(L + {h_{рт.ст}})h + {h_{рт.ст}}L = 0\]

Получилось квадратное уравнение относительно искомой длины \(h\). Давайте решим его, подставив в уравнение исходные данные в системе СИ:

\[2{h^2} — 3,5h + 0,75 = 0\]

\[D = {( — 3,5)^2} — 4 \cdot 2 \cdot 0,75 = 6,25 = {2,5^2}\]

\[h = \frac{{3,5 \pm 2,5}}{{2 \cdot 2}}\]

\[\left[ \begin{gathered}
h = 1,5 \; м \hfill \\
h = 0,25 \; м \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Очевидно, что первый корень уравнение не может быть решением, поскольку столбик ртути не может быть длиннее самой трубки.

Ответ: 0,25 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.3.34 В вертикальном закрытом цилиндре находится подвижный поршень
4.3.36 В стеклянной трубке находится столбик ртути длиной 10 см. Когда
4.3.37 Посередине откачанной и запаянной с обоих сторон горизонтально