Условие задачи:

Под невесомым поршнем в цилиндре находится 1 кг воды при температуре 0 °C. В воду опускают кусок железа массой 1 кг, нагретый до 1100 °C. На какую высоту поднимется поршень. Атмосферное давление 100 кПа, площадь поршня 1000 см². Теплоотдачей и теплоемкостью цилиндра пренебречь.

Задача №5.2.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=1\) кг, \(t_1=0^\circ\) C, \(m_2=1\) кг, \(t_2=1100^\circ\) C, \(p_{атм}=100\) кПа, \(S=1000\) см², \(h-?\)

Решение задачи:

Из условия понятно, что вода в результате теплообмена превратится в пар. Нам нужно узнать, превратится ли вся вода в пар, если да, то будет ли нагреваться пар выше температуры кипения воды. Для этого выполним следующие действия.

Определим количество теплоты \(Q_1\), необходимое для нагревания воды массой \(m_1\) от температуры \(t_1\) до температуры кипения \(t_{кип}\) (\(t_{кип}=100^\circ\) C). Это можно сделать по формуле:

\[{Q_1} = {c_1}{m_1}\left( {{t_{кип}} — {t_1}} \right)\]

Удельная теплоёмкость воды \(c_1\) равна 4200 Дж/(кг·°C).

\[{Q_1} = 4200 \cdot 1 \cdot \left( {100 — 0} \right) = 420000\;Дж = 420\;кДж\]

Далее определим количество теплоты \(Q_2\), необходимое для парообразования воды массой \(m_1\), по формуле:

\[{Q_2} = L{m_1}\]

Удельная теплота парообразования воды \(L\) равна 2,26 МДж/кг.

\[{Q_2} = 2,26 \cdot {10^6} \cdot 1 = 2260000\;Дж = 2260\;кДж\]

Также найдём количество теплоты \(Q_3\), выделяемое при охлаждении куска железа массой \(m_2\) от температуры \(t_2\) до температуры кипения воды \(t_{кип}\).

\[{Q_3} = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — {t_{кип}}} \right)\]

Удельная теплоёмкость железа \(c_2\) равна 460 Дж/(кг·°C).

\[{Q_3} = 460 \cdot 1 \cdot \left( {1100 — 100} \right) = 460000\;Дж = 460\;кДж\]

Так как \({Q_3} > {Q_1}\), значит вода станет превращаться в пар. Но поскольку \({Q_3} < {Q_1} + {Q_2}\), то лишь часть воды превратиться в пар. На основании этого запишем уравнение теплового баланса:

\[{Q_1} + {Q_4} = {Q_3}\]

Здесь \(Q_4\) (в отличие от \(Q_2\)) — количество теплоты, необходимое для парообразования части воды массой \(\Delta m\). Тогда:

\[{c_1}{m_1}\left( {{t_{кип}} — {t_1}} \right) + L\Delta m = {c_2}{m_2}\left( {{t_2} — {t_{кип}}} \right)\]

Значит испарилась масса воды \(\Delta m\), которую можно найти по формуле:

\[\Delta m = \frac{{{c_2}{m_2}\left( {{t_2} — {t_{кип}}} \right) — {c_1}{m_1}\left( {{t_{кип}} — {t_1}} \right)}}{L}\;\;\;\;(1)\]

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для водяного пара:

\[pV = \frac{{\Delta m}}{M}R{T_{кип}}\]

Молярная масса водяного пара \(M\) равна 0,018 кг/моль, универсальная газовая постоянная \(R\) — 8,31 Дж/(моль·К).

Поршень придёт в равновесие, когда давление водяного пара \(p\) станет равным атмосферному \(p_{атм}\), поскольку поршень невесом. При этом поршень поднимется на высоту \(h\), и водяной пар займёт объем \(V\), равный произведению \(Sh\). Поэтому:

\[{p_{атм}}Sh = \frac{{\Delta m}}{M}R{T_{кип}}\]

Выразим искомую высоту подъема поршня \(h\):

\[h = \frac{{\Delta mR{T_{кип}}}}{{{p_{атм}}SM}}\]

Учитывая ранее полученное выражение (1), получим такое решение задачи в общем виде:

\[h = \frac{{\left( {{c_2}{m_2}\left( {{t_2} — {t_{кип}}} \right) — {c_1}{m_1}\left( {{t_{кип}} — {t_1}} \right)} \right)R{T_{кип}}}}{{{p_{атм}}SML}}\]

Переведём площадь поршня \(S\) и температуру кипения \(T_{кип}\) в систему СИ:

\[1000\;см^2 = 1000 \cdot {10^{ — 4}}\;м^2\]

\[100^\circ\;C  = 373\;К\]

Посчитаем численный ответ к задаче:

\[h = \frac{{\left( {460 \cdot 1 \cdot \left( {1100 — 100} \right) — 4200 \cdot 1 \cdot \left( {100 — 0} \right)} \right) \cdot 8,31 \cdot 373}}{{100 \cdot {{10}^3} \cdot 1000 \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot 0,018 \cdot 2,26 \cdot {{10}^6}}} = 0,305\;м\]

Ответ: 0,305 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

5.2.14 В калориметре находится 1 кг льда при -40 C. В него впускают 1 кг пара при 120 C
5.2.16 Сколько энергии нужно затратить, чтобы 6 кг льда при -20 C обратить в пар
5.2.17 В сосуд, содержащий 10 кг льда при 0 C, влили 3 кг воды при 90 C. Какая установится