Условие задачи:

Подвешенному на нити длиной 1 м шарику сообщили начальную скорость такую, что когда нить отклонилась на угол 60° от вертикали, ускорение шарика оказалось направленным горизонтально. Найдите начальную скорость.

Задача №2.8.51 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(L=1\) м, \(\alpha=60^\circ\), \(\upsilon_0-?\)

Решение задачи:

Если ускорение шарика направленно горизонтально, то и равнодействующая всех сил направлена горизонтально. Из второго закона Ньютона она равна:

\[F = ma\]

На шарик действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. Так как сила тяжести направлена вертикально, а равнодействующая горизонтально, то полученный векторный треугольник — прямоугольный. Очевидно, что:

\[tg\alpha  = \frac{F}{{mg}}\]

\[tg\alpha  = \frac{{ma}}{{mg}} = \frac{a}{g}\]

\[a = g \cdot tg\alpha \;\;\;\;(1)\]

Если ускорение спроецировать на ось, совпадающей с нитью, то мы найдем центростремительное ускорение:

\[{a_ц} = a \cdot \cos \left( {90^\circ  — \alpha } \right)\]

Учитывая (1), имеем:

\[{a_ц} = g \cdot tg\alpha  \cdot \cos \left( {90^\circ  — \alpha } \right)\]

\[{a_ц} = g \cdot tg60^\circ  \cdot \cos \left( {90^\circ  — 60^\circ } \right) = g \cdot \sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

\[{a_ц} = \frac{{3g}}{2}\;\;\;\;(2)\]

С другой стороны, центростремительное ускорение всегда можно найти как отношение квадрата скорости шарика в этой точке к радиусу кривизны траектории (в данном случае равном длине нити \(L\)):

\[{a_ц} = \frac{{{\upsilon ^2}}}{L}\]

Благодаря ранее найденному равенству (2), получим:

\[\frac{{{\upsilon ^2}}}{L} = \frac{{3g}}{2}\]

\[{\upsilon ^2} = \frac{{3gL}}{2}\;\;\;\;(3)\]

Отлично, мы знаем квадрат скорости шарика, когда он отклонился на угол \(\alpha\) — это намёк на применение закона сохранения энергии. Если выбрать уровень нуля потенциальной энергии на уровне начального положения шарика, то в начале у шарика есть только кинетическая энергия \(\frac{{m\upsilon _0^2}}{2}\). Когда же он отклонится на угол \(\alpha\), то у него будет потенциальная энергия \(mgL\left( {1 — \cos \alpha } \right)\) и кинетическая энергия \(\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\).

\[\frac{{m\upsilon _0^2}}{2} = mgL\left( {1 — \cos \alpha } \right) + \frac{{m{\upsilon ^2}}}{2}\]

Во-первых, домножим на 2 и сократим на \(m\), далее подставим выражение (3):

\[\upsilon _0^2 = 2gL\left( {1 — \cos \alpha } \right) + \frac{{3gL}}{2}\]

В конечном счете, начальная скорость шарика равна:

\[{\upsilon _0} = \sqrt {gL\left( {\frac{7}{2} — 2\cos \alpha } \right)} \]

Подставим данные задачи в последнюю формулу и посчитаем ответ.

\[{\upsilon _0} = \sqrt {10 \cdot 1\left( {\frac{7}{2} — 2\cos 60^\circ } \right)}  = 5\; м/с = 18\; км/ч\]

Ответ: 18 км/ч.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.8.50 Плавательный бассейн площадью 100 м2 заполнен водой до глубины 2 м. Требуется
2.8.52 При ударе шарика об идеально гладкую горизонтальную поверхность теряется третья
2.8.53 Шарик на нити отклонили от вертикали на 60 градусов и отпустили без начальной