Решение: Полый железный шар взвешивают в воздухе и керосине. Показания динамометра

Условие задачи:

Полый железный шар взвешивают в воздухе и керосине. Показания динамометра соответственно равны 2,6 Н и 2,2 Н. Определить объем внутренней полости шара. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.

Задача №3.3.36 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(P_в = 2,6\) Н, \(P_к = 2,2\) Н, \(V_{пол}-?\)

Решение задачи:

Вес тела — это сила, с которой тело действует на подвес (или на опору). Значит вес равен силе натяжения нити, которую показывает динамометр. В таком случае вес железного шара в воздухе и в керосине можно находить по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_в} = mg \hfill \\
{P_к} = mg — {F_А} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Также будет верно записать:

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_в} = mg \hfill \\
{P_к} = {P_в} — {F_А} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Массу шара \(m\) определим как произведение плотности железа (\(\rho = 7800\) кг/м³) на объем, который занимает железо, очевидно равный \(\left(V-V_{пол}\right)\). Силу Архимеда, действующую на шар, когда он находится в керосине, найдем по известной формуле.

\[\left\{ \begin{gathered}
{P_в} = \rho \left( {V — {V_{пол}}} \right)g \hfill \\
{P_к} = {P_в} — {\rho _к}gV \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из нижнего равенства выразим полный объем шара \(V\):

\[V = \frac{{{P_в} — {P_к}}}{{{\rho _к}g}}\;\;\;\;(1)\]

Из первого равенства выразим объем полости \(V_{пол}\):

\[{V_{пол}} = V — \frac{{{P_в}}}{{\rho g}}\]

В эту формулу подставим выражение (1):

\[{V_{пол}} = \frac{{{P_в} — {P_к}}}{{{\rho _к}g}} — \frac{{{P_в}}}{{\rho g}}\]

Приведем под общий знаменатель:

\[{V_{пол}} = \frac{{{P_в}\rho — {P_к}\rho — {P_в}{\rho _к}}}{{{\rho _к}\rho g}}\]

\[{V_{пол}} = \frac{{{P_в}\left( {\rho — {\rho _к}} \right) — {P_к}\rho }}{{{\rho _к}\rho g}}\]

Плотность керосина \(\rho_к\) равна 800 кг/м³. Посчитаем ответ:

\[{V_{пол}} = \frac{{2,6 \cdot \left( {7800 — 800} \right) — 2,2 \cdot 7800}}{{800 \cdot 7800 \cdot 10}} = 1,67 \cdot {10^{ — 5}}\;м^3 = 16,7\;мл\]