Решение: Предельный угол полного внутреннего отражения в системе скипидар-воздух равен 45°

Условие задачи:

Предельный угол полного внутреннего отражения в системе скипидар-воздух равен 45°. Определите угол преломления (\(\beta\)) при переходе света из воздуха в скипидар, если угол падения равен 30°.

Задача №10.4.12 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha_{пр}=45^\circ\), \(\alpha=30^\circ\), \(\beta-?\)

Решение задачи:

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения при переходе светового луча из скипидара в воздух:

\[n\sin \alpha_{пр} = {n_0}\sin {\beta_0}\;\;\;\;(1)\]

Здесь \(\alpha_{пр}\) — предельный угол полного внутреннего отражения, \(\beta_0\) — угол преломления, равный в данном случае 90°, \(n\) и \(n_0\) — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_0\) равен 1.

Также запишем этот закон для случая перехода света из воздуха в скипидар:

\[{n_0}\sin \alpha = n\sin \beta \]

Здесь \(\alpha\) — угол падения светового луча, \(\beta\) — искомый угол преломления. Запишем эту формулу в другом виде:

\[n\sin \beta = {n_0}\sin \alpha\;\;\;\;(2)\]

Поделим (2) на (1), тогда:

\[\frac{{\sin \beta }}{{\sin {\alpha _{пр}}}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\sin {\beta _0}}}\]

Так как \(\sin \beta_0 = 1\), то:

\[\frac{{\sin \beta }}{{\sin {\alpha _{пр}}}} = \sin \alpha \]

\[\sin \beta = \sin \alpha \cdot \sin {\alpha _{пр}}\]

\[\beta = \arcsin \left( {\sin \alpha \cdot \sin {\alpha _{пр}}} \right)\]

Задача решена, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[\beta = \arcsin \left( {\sin 30^\circ \cdot \sin 45^\circ } \right) = 20,7^\circ \]