Условие задачи:

Предмет находится на расстоянии 0,1 м от переднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается четкое изображение предмета — на расстоянии 0,4 м от заднего фокуса линзы. Найдите фокусное расстояние линзы и увеличение предмета.

Задача №10.5.23 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(a=0,1\) м, \(b=0,4\) м, \(F — ?\), \(\Gamma — ?\)

Решение задачи:

Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе в точке C, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A₁. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B₁. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей) и перевернутым.

Запишем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(F\) — фокусное расстояние линзы, знак перед ним «+», поскольку линза — собирающая, \(d\) — расстояние от линзы до предмета, знак перед ним «+», поскольку предмет — действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), \(f\) — расстояние от линзы до изображения, знак перед ним «+», поскольку изображение — действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей — смотрите рисунок).

Из рисунка понятно, что расстояния \(d\) и \(f\) можно найти по формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
d = F + a \hfill \\
f = F + b \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

В таком случае формула (1) примет вид:

\[\frac{1}{F} = \frac{1}{{F + a}} + \frac{1}{{F + b}}\]

Приведем под общий знаменатель в правой части этого уравнения:

\[\frac{1}{F} = \frac{{F + b + F + a}}{{\left( {F + a} \right)\left( {F + b} \right)}}\]

\[\frac{1}{F} = \frac{{2F + a + b}}{{\left( {F + a} \right)\left( {F + b} \right)}}\]

Раскроем скобки в знаменателе дроби справа:

\[\frac{1}{F} = \frac{{2F + a + b}}{{{F^2} + \left( {a + b} \right)F + ab}}\]

Перемножим «крест-накрест»:

\[2{F^2} + \left( {a + b} \right)F = {F^2} + \left( {a + b} \right)F + ab\]

\[{F^2} = ab\]

\[F = \sqrt {ab} \]

Из подобия треугольников AOB и A₁OB₁ по трем углам следует, что поперечное увеличение линзы \(\Gamma\) можно определить по следующим формулам:

\[\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h}\]

Воспользуемся первой из них, тогда:

\[\Gamma = \frac{{F + b}}{{F + a}}\]

\[\Gamma = \frac{{\sqrt {ab} + b}}{{\sqrt {ab} + a}}\]

Посчитаем численные ответы этой задачи (не забываем переводить численные значения в систему СИ):

\[F = \sqrt {0,1 \cdot 0,4} = 0,2\;м = 20\;см\]

\[\Gamma = \frac{{\sqrt {0,1 \cdot 0,4} + 0,4}}{{\sqrt {0,1 \cdot 0,4} + 0,1}} = 2\]

Ответ: 20 см; 2.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.5.22 Линза дает действительное изображение предмета с увеличением 3. Какое увеличение
10.5.24 Точечный источник света находится на расстоянии 50 см от собирающей линзы
10.5.25 Расстояние между предметом и экраном равно 120 см. На каком максимальном расстоянии