Решение: При лужении оловом с конца проволоки диаметром 1 мм оторвалось 20 капель олова

Условие задачи:

При лужении оловом с конца проволоки диаметром 1 мм оторвалось 20 капель олова. Насколько укоротилась проволока? Коэффициент поверхностного натяжения олова при 300 °C — 0,52 Н/м.

Задача №3.4.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(D=1\) мм, \(N=20\), \(\sigma = 0,52\) Н/м, \(l-?\)

Решение задачи:

Из цилиндрической проволоки диаметра \(D\) и искомой длины \(l\) образовалось \(N\) капель диаметром \(d\). Понятно, что объем, на который укоротилась проволока, равна суммарному объему капель:

\[{V_{пр}} = N{V_к}\]

Распишем объем проволоки \(V_{пр}\) как произведение площади поперечного сечения на длину, а объем одной сферической капли выразим через диаметр капли \(d\) (\({V_к} = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{1}{6}\pi {d^3}\)):

\[\frac{{\pi {D^2}}}{4} \cdot l = N \cdot \frac{{\pi {d^3}}}{6}\]

\[l = \frac{{2N{d^3}}}{{3{D^2}}}\;\;\;\;(1)\]

Чтобы определить диаметр капли \(d\), рассмотрим момент отрыва капель от проволоки. В этот момент сила поверхностного натяжения \(F_{пов}\) равна силе тяжести капли \(mg\).

\[{F_{пов}} = mg\;\;\;\;(2)\]

Сила поверхностного натяжения \(F_{пов}\) действует вдоль линии соприкосновения капли с проволокой, длина которой равной \(\pi D\), поэтому её модуль равен:

\[{F_{пов}} = \sigma \cdot \pi D\]

Полученное выражение подставим в равенство (2). В этом же равенстве заменим массу капли \(m\) произведением плотности олова \(\rho\) на объем капли. Плотность олова — это табличная величина, она равна 7300 кг/м³.

\[\sigma \cdot \pi D = \rho \cdot \frac{1}{6}\pi {d^3}g\]

Выразим отсюда \(d^3\):

\[{d^3} = \frac{{6\sigma D}}{{\rho g}}\]

Подставим полученное выражение в формулу (1). В итоге имеем:

\[l = \frac{{4\sigma N}}{{\rho gD}}\]

Переведем диаметр проволоки в систему СИ, далее произведем расчет ответа.

\[1\;мм = 0,001\;м\]

\[l = \frac{{4 \cdot 0,52 \cdot 20}}{{7300 \cdot 10 \cdot 0,001}} = 0,57\;м = 57\;см\]