Решение: Проволочный виток площадью 1 см2 и сопротивлением 1 Ом пронизывается магнитным

Условие задачи:

Проволочный виток площадью 1 см² и сопротивлением 1 Ом пронизывается магнитным полем, линии которого перпендикулярны плоскости витка. Магнитная индукция изменяется со скоростью 0,01 Тл/с. Какая тепловая мощность выделяется в витке?

Задача №8.4.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(S=1\) см², \(R=1\) Ом, \(\beta=90^\circ\), \(\frac{\Delta B}{\Delta t}=0,01\) Тл/с, \(W-?\)

Решение задачи:

Известно, что тепловую мощность \(W\), выделяющуюся в витке при протекании по нему электрического тока, можно определить по такой формуле:

\[W = {I^2}R\;\;\;\;(1)\]

Силу тока в цепи \(I\) найдем по закону Ома:

\[I = \frac{{\rm E_i}}{R}\;\;\;\;(2)\]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

\[W = \frac{{{\rm E}_i^2}}{R}\;\;\;\;(3)\]

Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре при изменении магнитного потока, пересекающего этот контур, равна по модулю скорости изменения магнитного потока. Поэтому:

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\;\;\;\;(4)\]

Следует отметить, что для определения мгновенного значения ЭДС индукции по этой формуле интервал времени \(\Delta t\) должен стремиться к нулю, в противном случае Вы получите среднее значение ЭДС индукции. Будем считать, что в нашем случае магнитный поток изменялся равномерно, поэтому интервал времени \(\Delta t\) может быть каким угодно — среднее и мгновенное значения ЭДС индукции в таком случае будут одинаковы.

Модуль изменения магнитного потока \(\Delta \Phi\) будем определять по формуле (изменение магнитного потока происходило за счёт изменения величины магнитной индукции):

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \alpha \]

Здесь угол \(\alpha\) — угол между нормалью к витку и вектором магнитной индукции, который связан с углом \(\beta\), данным в условии, по простой формуле:

\[\alpha = 90^\circ — \beta \]

Тогда:

\[\Delta \Phi = \Delta BS\cos \left( {90^\circ — \beta } \right)\]

Учитывая, что \(\cos \left( {90^\circ — \beta } \right) = \sin \beta\), имеем:

\[\Delta \Phi = \Delta BS\sin \beta \]

Полученное выражение подставим в (4):

\[{{\rm E}_i} = \frac{{\Delta BS\sin \beta }}{{\Delta t}}\]

А это выражение подставим в (3):

\[W = {\left( {\frac{{\Delta BS\sin \beta }}{{\Delta t}}} \right)^2}\frac{1}{R}\]

Задача решена в общем виде, посчитаем ответ:

\[W = {\left( {0,01 \cdot {{10}^{ — 4}} \cdot \sin 90^\circ } \right)^2}\frac{1}{1} = {10^{ — 12}}\;Вт = 1\;пВт\]