Условие задачи:

Пружинный маятник совершает косинусоидальные колебания, после того как его вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время после начала колебаний его кинетическая энергия станет равна его потенциальной?

Задача №9.4.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$E_к=E_п$, $t-?$

Решение задачи:

Если пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону косинуса, то уравнение этих колебаний в общем случае можно представить в виде (начальную фазу колебаний $\varphi_0$ примем равной нулю):

$$x = A\cos \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(1)$$

В этой формуле $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Если взять производную от уравнения (1), то получим уравнение скорости:

$$\upsilon = — A\omega \sin \left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(2)$$

В условии сказано, что нам нужно найти время, когда кинетическая энергия колеблющегося тела будет в первый раз равна потенциальной энергии пружины:

$${E_к} = {E_п}$$

$$\frac{{m{\upsilon ^2}}}{2} = \frac{{k{x^2}}}{2}$$

$$m{\upsilon ^2} = k{x^2}$$

Учитывая (1) и (2), получим:

$$m{A^2}{\omega ^2}{\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = k{A^2}{\cos ^2}\left( {\omega t} \right)$$

$$m{\omega ^2}{\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = k{\cos ^2}\left( {\omega t} \right)\;\;\;\;(3)$$

Циклическую частоту колебаний $\omega$ пружинного маятника определяют по формуле:

$$\omega = \sqrt {\frac{k}{m}}$$

В этой формуле $k$ — жесткость пружины, $m$ — масса колеблющегося груза.

Подставим это выражение в формулу (3):

$$m\frac{k}{m}{\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = k{\cos ^2}\left( {\omega t} \right)$$

$${\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = {\cos ^2}\left( {\omega t} \right)$$

$${\cos ^2}\left( {\omega t} \right) — {\sin ^2}\left( {\omega t} \right) = 0$$

$$\cos \left( {2\omega t} \right) = 0$$

$$2\omega t = \frac{\pi }{2}\;\;\;\;(4)$$

Также циклическую частоту колебаний $\omega$ можно определить по формуле:

$$\omega = \frac{{2\pi }}{T}$$

В таком случае уравнение (4) примет вид:

$$\frac{{4\pi t}}{T} = \frac{\pi }{2}$$

$$t = \frac{T}{8}$$

Ответ: $\frac{T}{8}$.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.4.8 Пружинный маятник вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время
9.4.10 Материальная точка совершает гармонические колебания. Как изменится кинетическая
9.4.11 Максимальная кинетическая энергия материальной точки массы 10 г, совершающей