Условие задачи:

Прямолинейное движение точки задано уравнением \(x=-2+3t-0,5t^2\) (м). Найти путь за 8 с.

Задача №1.3.48 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(x=-2+3t-0,5t^2\), \(t=8\) с, \(S-?\)

Решение задачи:

В условии дано уравнение движения точки, давайте попробуем найти как меняется со временем её скорость. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ — простой, его следует использовать, если вы не умеете брать производные от функций. В общем случае уравнение прямолинейного ускоренного движения точки выглядит так:

\[x = {x_0} + {\upsilon _0}t + \frac{{a{t^2}}}{2}\]

Мы же имеем такое уравнение:

\[x=-2+3t-0,5t^2\]

Просто сопоставим эти уравнения. Тогда начальная координата \(x_0\), начальная скорость \(\upsilon _0\) и ускорение \(a\) в нашем случае равны:

\[{x_0} =  — 2\; м\]

\[{\upsilon _0} = 3\; м/с\]

\[a =  — 1\; м/с^2\]

Уравнение скорости в общем виде такое:

\[\upsilon  = {\upsilon _0} + at\]

Подставив полученные нами значения, мы имеем такое уравнение скорости:

\[\upsilon  = 3 — t\]

Суть второго способа заключается в том, что первая производная от функции координаты есть функция скорости.

\[\upsilon  = x’\]

\[\upsilon  = ( — 2 + 3t — 0,5{t^2})’\]

\[\upsilon  = 3 — t\]

Как видите, мы получили то же самое.

Зная тот факт, что площадь фигуры под графиком зависимости скорости от времени есть пройденный путь, построим график \(\upsilon  = 3 — t\) (рисунок справа). Получается, чтобы узнать путь \(S\) нужно посчитать площади двух треугольников и сложить их.

Кстати, расположение этих треугольников (над или под осью) также несет смысл. Если график скорости пересекает ось, значит тело меняет направление своего движения. Поэтому, в случае если мы ищем путь, по полученные площади необходимо сложить, если же мы пытаемся найти перемещение, то нужно отнять из большего меньшее.

Площадь прямоугольных треугольников определяется как половина произведения двух катетов, поэтому ответ такой:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot \left( {8 — 3} \right) \cdot 5 = 17\; м\]

Наша точка прошла 4,5 м по оси \(x\) и 12,5 м против нее.

Ответ: 17 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

1.3.47 Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигаясь равноускоренно, приобрело
1.3.49 Пуля, летящая со скоростью 141 м/с, попадает в доску и проникает на глубину
1.3.50 Пробежав с постоянным ускорением по взлетной полосе 750 м, самолет