Решение: Шар радиусом 0,3 м, заряженный до потенциала 1000 В, соединяют проводником

Условие задачи:

Шар радиусом 0,3 м, заряженный до потенциала 1000 В, соединяют проводником с незаряженным шаром. После этого потенциал шаров оказался равным 300 В. Чему равен радиус второго шара?

Задача №6.4.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R=0,3\) м, \(\varphi_0=1000\) В, \(\varphi=300\) В, \(r-?\)

Решение задачи:

Пусть \(q_0\) — это начальный заряд шара радиусом \(R\), \(q_1\) — это конечный (т.е. после соединения с другим шаром) заряд шара радиусом \(R\), \(q_2\) — это конечный заряд шара радиусом \(r\) (изначально он не был заряжен). Согласно закону сохранения заряда должно выполняться следующее отношение:

\[{q_0} = {q_1} + {q_2}\;\;\;\;(1)\]

После соединения шаров их потенциал станет одинаковым. Запишем формулы для определения потенциалов \(\varphi_0\) и \(\varphi\) через заряды шаров и их электроемкости.

\[\left\{ \begin{gathered}
{\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{{C_1}}} \hfill \\
\varphi = \frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} \hfill \\
\varphi = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Давайте запишем формулы для определения электроемкостей шаров с радиусами \(R\) и \(r\), они нам далее понадобятся:

\[\left\{ \begin{gathered}
{C_1} = 4\pi {\varepsilon _0}R \hfill \\
{C_2} = 4\pi {\varepsilon _0}r \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Подставим эти выражения в первую систему, тогда:

\[\left\{ \begin{gathered}
{\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}} \hfill \\
\varphi = \frac{{{q_1}}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}} \hfill \\
\varphi = \frac{{{q_2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Из этой системы получим формулы для определения зарядов \(q_0\), \(q_1\) и \(q_2\):

\[\left\{ \begin{gathered}
{q_0} = 4\pi {\varepsilon _0}R{\varphi _0} \hfill \\
{q_1} = 4\pi {\varepsilon _0}R\varphi \hfill \\
{q_2} = 4\pi {\varepsilon _0}r\varphi \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

С учётом этой системы равенство (1) примет такой вид:

\[4\pi {\varepsilon _0}R{\varphi _0} = 4\pi {\varepsilon _0}R\varphi + 4\pi {\varepsilon _0}r\varphi \]

\[R{\varphi _0} = R\varphi + r\varphi \]

Откуда искомый радиус второго шара \(r\) равен:

\[r = \frac{{R\left( {{\varphi _0} — \varphi } \right)}}{\varphi }\]

Или, если записать ещё более просто:

\[r = R\left( {\frac{{{\varphi _0}}}{\varphi } — 1} \right)\]

Отлично, теперь считаем численный ответ:

\[r = 0,3 \cdot \left( {\frac{{1000}}{{300}} — 1} \right) = 0,7\;м = 70\;см\]