Условие задачи:

Шар радиусом 15 см, заряженный до потенциала 300 В, соединяют проволокой с незаряженным шаром. После соединения шаров их потенциал стал 100 В. Каков радиус второго шара?

Задача №6.4.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$R=15$ см, $\varphi_0=300$ В, $\varphi=100$ В, $r-?$

Решение задачи:

Пусть $q_0$ — это начальный заряд шара радиусом $R$, $q_1$ — это конечный (т.е. после соединения с другим шаром) заряд шара радиусом $R$, $q_2$ — это конечный заряд шара радиусом $r$, который изначально не был заряжен. Из закона сохранения заряда следует такое равенство:

$${q_0} = {q_1} + {q_2}\;\;\;\;(1)$$

После соединения шаров их потенциал станет одинаковым и равным $\varphi$. Запишем формулы для определения потенциалов $\varphi_0$ и $\varphi$ через заряды шаров и их электроемкости.

$$\left\{ \begin{gathered} {\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{{C_1}}} \hfill \\ \varphi = \frac{{{q_1}}}{{{C_1}}} \hfill \\ \varphi = \frac{{{q_2}}}{{{C_2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Давайте запишем формулы для определения электроемкостей шаров с радиусами $R$ и $r$, они нам далее понадобятся:

$$\left\{ \begin{gathered} {C_1} = 4\pi {\varepsilon _0}R \hfill \\ {C_2} = 4\pi {\varepsilon _0}r \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Подставим эти выражения в первую систему, тогда:

$$\left\{ \begin{gathered} {\varphi _0} = \frac{{{q_0}}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}} \hfill \\ \varphi = \frac{{{q_1}}}{{4\pi {\varepsilon _0}R}} \hfill \\ \varphi = \frac{{{q_2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}r}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

Из этой системы получим формулы для определения зарядов $q_0$, $q_1$ и $q_2$:

$$\left\{ \begin{gathered} {q_0} = 4\pi {\varepsilon _0}R{\varphi _0} \hfill \\ {q_1} = 4\pi {\varepsilon _0}R\varphi \hfill \\ {q_2} = 4\pi {\varepsilon _0}r\varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.$$

С учётом этой системы равенство (1) примет такой вид:

$$4\pi {\varepsilon _0}R{\varphi _0} = 4\pi {\varepsilon _0}R\varphi + 4\pi {\varepsilon _0}r\varphi$$

$$R{\varphi _0} = R\varphi + r\varphi$$

Откуда искомый радиус второго шара $r$ равен:

$$r = \frac{{R\left( {{\varphi _0} — \varphi } \right)}}{\varphi }$$

$$r = R\left( {\frac{{{\varphi _0}}}{\varphi } — 1} \right)$$

Задача решена в общем виде, теперь произведем расчет численного ответа (не забывайте переводить численные значения величин в систему СИ):

$$r = 0,15 \cdot \left( {\frac{{300}}{{100}} — 1} \right) = 0,3\;м$$

Ответ: 0,3 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.4.6 Тысяча одинаковых шарообразных капелек ртути заряжены до одинакового потенциала
6.4.8 Шарообразная капля, имеющая потенциал 2,5 В, получена в результате слияния двух
6.4.9 Плоский воздушный конденсатор состоит из двух пластин площадью 100 см2 каждая