Решение: Сила тока, характеризующая поток электронов в электронно-лучевой трубке, 400 мкА

Условие задачи:

Сила тока, характеризующая поток электронов в электронно-лучевой трубке, 400 мкА, ускоряющее напряжение 10 кВ. Найдите силу давления электронного пучка на экран трубки, полагая, что все электроны поглощаются экраном.

Задача №7.3.23 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(I=400\) мкА, \(U=10\) кВ, \(F-?\)

Решение задачи:

Чтобы определить силу давления \(F\) электронного пучка на экран трубки, запишем второй закон Ньютона в общем виде (то есть в том виде, в котором его вывел Ньютон):

\[F = \frac{{\Delta p}}{{\Delta t}}\;\;\;\;(1)\]

Поскольку электроны поглощаются экраном, значит их конечная скорость будет равна нулю, поэтому изменение импульса электронного пучка (то есть всех электронов, а не только одного!) \(\Delta p\) можно найти по следующей формуле:

\[\Delta p = m\upsilon \]

Если в пучке содержится \(N\) электронов, то суммарную массу всех электронов \(m\), очевидно, можно представить в виде:

\[m = N{m_e}\]

Здесь \(m_e\) — масса одного электрона, равная 9,1·10^-31 кг.

Принимая во внимание все написанное выше, формула (1) примет вид (символ изменения \(\Delta\) у времени мы опустим):

\[F = \frac{{N{m_e}\upsilon }}{t}\;\;\;\;(2)\]

Для того, чтобы определить скорость электронов \(\upsilon\) в момент, когда они доберутся до экрана, необходимо воспользоваться законом сохранения энергии. Электроны, пройдя ускоряющую разность потенциалов \(U\), увеличат свою кинетическую энергию, то есть электрическое поле совершило работу по увеличению скорости электронов, поэтому верно записать:

\[eU = \frac{{{m_e}{\upsilon ^2}}}{2}\]

Откуда выразим скорость \(\upsilon\):

\[\upsilon = \sqrt {\frac{{2eU}}{{{m_e}}}} \;\;\;\;(3)\]

Также мы знаем силу тока \(I\), характеризующую поток электронов. Известно, что сила тока равна отношению протекшего заряда \(Q\) ко времени \(t\):

\[I = \frac{Q}{t}\]

Аналогично, если в пучке содержится \(N\) электронов, то суммарный заряд всех электронов \(Q\), очевидно, можно определить таким образом:

\[Q = Ne\]

Здесь \(e\) — модуль заряда одного электрона, равный 1,6·10^-19 Кл.

Тогда:

\[I = \frac{{Ne}}{t}\]

Из полученной формулы выразим следующее отношение:

\[\frac{N}{t} = \frac{I}{e}\;\;\;\;(4)\]

Осталось только подставить выражения (3) и (4) в формулу (2):

\[F = \frac{{{m_e}I}}{e}\sqrt {\frac{{2eU}}{{{m_e}}}} \]

Окончательное решение этой задачи в общем виде выглядит так:

\[F = I\sqrt {\frac{{2U{m_e}}}{e}} \]

Посчитаем численный ответ:

\[F = 400 \cdot {10^{ — 6}} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot 10 \cdot {{10}^3} \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ — 31}}}}{{1,6 \cdot {{10}^{ — 19}}}}} = 1,35 \cdot {10^{ — 7}}\;Н = 135\;нН\]