Решение: Струя стоградусного водяного пара направляется на кусок льда массой 10 кг

Условие задачи:

Струя стоградусного водяного пара направляется на кусок льда массой 10 кг с температурой 0 °C. Какая установится температура после того, как лед растает, если масса израсходованного пара 2 кг?

Задача №5.2.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$m_1=10$ кг, $t_1=0^\circ$ C, $m_2=2$ кг, $t-?$

Решение задачи:

Определим количество теплоты $Q_1$ , необходимое для плавления льда массой $m_1$ , по известной формуле:

${Q_1} = \lambda {m_1}$

Удельная теплота плавления льда $\lambda$ равна 330 кДж/кг.

${Q_1} = 330 \cdot {10^3} \cdot 10 = 3300 \cdot {10^3}\;Дж = 3300\;кДж$

Далее определим количество теплоты $Q_2$ , необходимое для нагревания воды массой $m_1$ , образовавшейся изо льда, от температуры плавления льда $t_1$ до температуры кипения воды $t_к$ ( $t_к=100^\circ$ C). Это можно сделать по формуле:

${Q_2} = c{m_1}\left( {{t_к} — {t_1}} \right)$

Удельная теплоёмкость воды $c$ равна 4200 Дж/(кг·°C).

${Q_2} = 4200 \cdot 10 \cdot \left( {100 — 0} \right) = 4200 \cdot {10^3}\;Дж = 4200\;кДж$

И также определим количество теплоты $Q_3$ , выделяемое при конденсации пара массой $m_2$ , по формуле:

${Q_3} = L{m_2}$

Удельная теплота конденсации пара $L$ равна 2,26 МДж/кг.

${Q_3} = 2,26 \cdot {10^6} \cdot 2 = 4520 \cdot {10^3}\;Дж = 4520\;кДж$

Давайте проанализируем полученные результаты. Так как ${Q_3} > {Q_1}$ , значит весь лёд растает. Но так как ${Q_3} < {Q_1} + {Q_2}$ , значит весь пар сконденсируется, а далее будет происходить теплообмен между водой, образовавшейся изо льда, и водой, образовавшейся из пара.

Запишем уравнение теплового баланса:

${Q_1} + {Q_4} = {Q_3} + {Q_5}$

В этом равенстве $Q_4$ — количество теплоты, необходимое для нагревания воды массой $m_1$ от температуры $t_1$ до искомой температуры $t$ ; $Q_5$ — количество теплоты, выделяемое при охлаждении воды массой $m_2$ от температуры $t_к$ до искомой температуры $t$ .

Распишем указанные количества теплоты по формулам, тогда получим следующее равенство:

$\lambda {m_1} + c{m_1}\left( {t — {t_1}} \right) = L{m_2} + c{m_2}\left( {{t_к} — t} \right)$

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

$\lambda {m_1} + c{m_1}t — c{m_1}{t_1} = L{m_2} + c{m_2}{t_к} — c{m_2}t$

Перенесем в левую часть все члены с множителем $t$ , вынесем его за скобки, остальные член перенесем в правую часть.

$ct\left( {{m_1} + {m_2}} \right) = L{m_2} — \lambda {m_1} + c{m_2}{t_к} + c{m_1}{t_1}$

$t = \frac{{L{m_2} — \lambda {m_1} + c{m_2}{t_к} + c{m_1}{t_1}}}{{c\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}$

$t = \frac{{L{m_2} — \lambda {m_1} + c\left( {{m_2}{t_к} + {m_1}{t_1}} \right)}}{{c\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}$

Задача в общем виде решена.

Произведем расчет ответа:

$t = \frac{{2,26 \cdot {{10}^6} \cdot 2 — 330 \cdot {{10}^3} \cdot 10 + 4200 \cdot \left( {2 \cdot 100 + 10 \cdot 0} \right)}}{{4200 \cdot \left( {10 + 2} \right)}} \approx 41^\circ\;C = 314\;К$