Решение: Светящаяся точка равномерно движется по прямой, образующей угол 30° с плоскостью

Условие задачи:

Светящаяся точка равномерно движется по прямой, образующей угол 30° с плоскостью зеркала со скоростью 0,2 м/с. С какой скоростью изменяется расстояние между светящейся точкой и её изображением?

Задача №10.1.23 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\alpha=30^\circ\), \(\upsilon=0,2\) м/с, \(u-?\)

Решение задачи:

Вектор скорости изображения точки согласно правилу построения изображений в плоском зеркале будет симметричен вектору скорости предмета (светящейся точки) относительно плоскости зеркала.

Чтобы ответить на вопрос задачи, то есть узнать с какой скоростью изменяется расстояние между точкой и её изображением (то есть найти скорость точки относительно изображения), перейдем в систему отсчета (СО) изображения точки. Для этого прибавим к векторам скоростей предмета (светящейся точки), зеркала и изображения предмета вектор, противоположный вектору скорости изображения.

Для нахождения искомой скорости точки \(\overrightarrow u\) относительно изображения нужно сложить два вектора \(\overrightarrow \upsilon\) с углом \(2\alpha\) между ними. Воспользуемся теоремой косинусов:

\[{u^2} = {\upsilon ^2} + {\upsilon ^2} — 2{\upsilon ^2}\cos 2\alpha \]

\[{u^2} = 2{\upsilon ^2} — 2{\upsilon ^2}\cos 2\alpha \]

\[{u^2} = 2{\upsilon ^2}\left( {1 — \cos 2\alpha } \right)\]

\[{u^2} = 2{\upsilon ^2} \cdot 2{\sin ^2}\alpha \]

\[u = 2\upsilon \sin \alpha \]

Численный ответ равен:

\[u = 2 \cdot 0,2 \cdot \sin 30^\circ = 0,2\;м/с\]