Решение: Тело совершает гармонические синусоидальные колебания с нулевой начальной фазой

Условие задачи:

Тело совершает гармонические синусоидальные колебания с нулевой начальной фазой. Через 0,5 с после начала колебаний смещение тела от положения равновесия впервые становится равным половине амплитудного значения. Найти период колебаний.

Задача №9.1.21 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(\varphi_0=0\), \(t=0,5\) с, \(x=\frac{A}{2}\), \(T-?\)

Решение задачи:

Если материальная точка совершает гармонические синусоидальные колебания, то уравнение этих колебаний можно представить в виде:

\[x = A\sin \left( {{\varphi _0} + \omega t} \right)\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(A\) — амплитуда колебаний, \(\varphi _0\) — начальная фаза колебаний, \(\omega\) — циклическая частота колебаний.

Циклическая частота колебаний \(\omega\) связана с периодом колебаний \(T\) по формуле:

\[\omega = \frac{{2\pi }}{T}\;\;\;\;(2)\]

Принимая во внимание формулу (2), а также тот факт, что начальная фаза колебаний равна нулю (\(\varphi_0=0\)), имеем:

\[x = A\sin \left( {\frac{{2\pi t}}{T}} \right)\]

Так как через время \(t\) после начала колебаний смещение тела от положения равновесия впервые становится равным половине амплитудного значения, то есть \(x=\frac{A}{2}\), имеем:

\[\frac{A}{2} = A\sin \left( {\frac{{2\pi t}}{T}} \right)\]

Решив это уравнение, мы получим ответ к этой задаче.

\[\sin \left( {\frac{{2\pi t}}{T}} \right) = \frac{1}{2}\]

Поскольку в условии сказано, что смещение тела впервые (!) становится равным половине амплитудного значения, то (это уравнение имеет бесконечное количество корней, но с учетом данного условия нас интересует только первый):

\[\frac{{2\pi t}}{T} = \frac{\pi }{6}\]

\[\frac{{2t}}{T} = \frac{1}{6}\]

\[\frac{t}{T} = \frac{1}{{12}}\]

\[T = 12t\]

\[T = 12 \cdot 0,5 = 6\;с\]