Решение: Цилиндр радиуса R, расположенный вертикально, вращается вокруг своей оси с постоянной

Условие задачи:

Цилиндр радиуса \(R\), расположенный вертикально, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью \(\omega\). На внутренней поверхности цилиндра находится небольшое тело, вращающееся вместе с цилиндром. При какой минимальной величине коэффициента трения скольжения между телом и поверхностью цилиндра, тело не будет скользить вниз?

Задача №2.4.42 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(R\), \(\omega\), \(\mu-?\)

Решение задачи:

Покажем на схеме все силы, действующие на тело. Второй закон Ньютона, записанный в проекции на ось \(x\), даст такое равенство:

\[N = m{a_ц}\]

Так как в условии задачи дана угловая скорость вращения цилиндра \(\omega\), то выразим центростремительное ускорение через неё:

\[{a_ц} = {\omega ^2}R\]

\[N = m{\omega ^2}R\;\;\;\;(1)\]

Вдоль оси \(y\) действуют две силы: сила тяжести \(mg\) и сила трения покоя \(F_{тр.п}\). Первый закон Ньютона в проекции на эту ось выглядит так:

\[{F_{тр.п}} = mg\;\;\;\;(2)\]

Чтобы найти минимальный коэффициент трения \(\mu\), сила трения покоя должна принимать максимальное значение. Это максимальное значение силы трения покоя можно найти по формуле:

\[{F_{тр.п}} = \mu N\]

Учитывая (1), эта формула примет вид:

\[{F_{тр.п}} = \mu m{\omega ^2}R\]

Приравняем с (2), тогда получи следующее:

\[mg = \mu m{\omega ^2}R\]

\[\mu = \frac{g}{{{\omega ^2}R}}\]

Задача решена.