Решение: Угол падения луча на пластинку толщиной 6 мм и показателем преломления, равным

Условие задачи:

Угол падения луча на пластинку толщиной 6 мм и показателем преломления, равным $\sqrt{3}$ , равен углу полного внутреннего отражения для стекла, из которого изготовлена пластинка. Вычислить смещение луча при прохождении сквозь пластинку.

Задача №10.3.44 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$\alpha=\alpha_{пр}$ , $d=6$ мм, $n=\sqrt{3}$ , $l-?$

Решение задачи:

Разумеется к такой задаче необходимо сделать хороший рисунок, без него решить задачу невозможно. Первое, что можно увидеть на рисунке, так это то, что искомое смещение $l$ можно найти из прямоугольного треугольника по формуле:

$l = \Delta l\cos \alpha\;\;\;\;(1)$

Расстояние $\Delta l$ можно определить следующим образом:

$\Delta l = {l_2} — {l_1}$

Расстояния $l_1$ и $l_2$ можно найти из соответствующих прямоугольных треугольников (да, опять) по следующим формулам:

$\left\{ \begin{gathered} {l_2} = d \cdot tg\alpha \hfill \\ {l_1} = d \cdot tg\beta \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Учитывая все вышесказанное, формула (1) примет вид:

$l = d\cos \alpha \left( {tg\alpha — tg\beta } \right)\;\;\;\;(2)$

Чтобы найти угол падения $\alpha$ , запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения для стекла, из которого изготовлена пластинка, при переходе в воздух:

$n \sin \alpha_{пр} = {n_0}$

Здесь $\alpha_{пр}$ — угол полного внутреннего отражения при падении на границу стекло-воздух, $n$ и $n_0$ — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха $n_0$ равен 1. Тогда:

$\sin {\alpha _{пр}} = \frac{{{n_0}}}{n}\;\;\;\;(3)$

${\alpha _{пр}} = \arcsin \left( {\frac{{{n_0}}}{n}} \right)$

По условию угол падения луча на пластинку равен углу полного внутреннего отражения для стекла, из которого изготовлена пластинка, то есть $\alpha = \alpha_{пр}$ , поэтому:

$\alpha = \arcsin \left( {\frac{{{n_0}}}{n}} \right)\;\;\;\;(4)$

Чтобы найти угол преломления $\beta$ , запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) при переходе из воздуха в стекло:

${n_0}\sin \alpha = n\sin \beta$

Имеем:

$\sin \alpha = \frac{{n\sin \beta }}{{{n_0}}}\;\;\;\;(5)$

Так как $\alpha = \alpha_{пр}$ , приравняем (3) и (4):

$\frac{{{n_0}}}{n} = \frac{{n\sin \beta }}{{{n_0}}}$

$\sin \beta = \frac{{n_0^2}}{{{n^2}}}$

То есть:

$\beta = \arcsin \left( {\frac{{n_0^2}}{{{n^2}}}} \right)\;\;\;\;(6)$

Осталось только подставить выражения (4) и (6) в формулу (2):

$l = d\cos \left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_0}}}{n}} \right)} \right)\left( {tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_0}}}{n}} \right)} \right) — tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{n_0^2}}{{{n^2}}}} \right)} \right)} \right)$

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

$l = 0,006 \cdot \cos \left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right)\left( {tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right) — tg\left( {\arcsin \left( {\frac{1}{3}} \right)} \right)} \right) = 1,732 \cdot {10^{ — 3}}\;м = 0,17\;cм$