Решение: В дно водоема глубиной 2 м вбита свая, выступающая из воды на 0,5 м. Найти длину тени

Условие задачи:

В дно водоема глубиной 2 м вбита свая, выступающая из воды на 0,5 м. Найти длину тени от сваи на дне водоема при угле падения лучей 30°.

Задача №10.3.24 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(H=2\) м, \(h=0,5\) м, \(\alpha=30^\circ\), \(L-?\)

Решение задачи:

Из-за того, что луч при переходе из воздуха в воду претерпевает преломление, то длина тени сваи будет короче, чем на воздухе (см. рисунок к задаче). При этом длину тени сваи на дне пруда можно определить как сумму:

\[L = {l_1} + {l_2}\;\;\;\;(1)\]

При этом из прямоугольных треугольников можно найти длины \(l_1\) и \(l_2\) по следующим формулам:

\[\left\{ \begin{gathered}
{l_1} = h \cdot tg\alpha \hfill \\
{l_2} = H \cdot tg\beta \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

То есть формула (1) примет вид:

\[L = h \cdot tg\alpha + H \cdot tg\beta\;\;\;\;(2)\]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

\[{n_1}\sin \alpha = {n_2}\sin \beta\]

Здесь \(\alpha\) и \(\beta\) — угол падения и угол преломления соответственно, \(n_1\) и \(n_2\) — показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха \(n_1\) равен 1, показатель преломления воды \(n_2\) равен 1,33.

Тогда:

\[\sin \beta = \frac{{{n_1}\sin \alpha }}{{{n_2}}}\]

\[\beta = \arcsin \left( {\frac{{{n_1}\sin \alpha }}{{{n_2}}}} \right)\]

Полученное выражение подставим в формулу (2), тогда:

\[L = h \cdot tg\alpha + H \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{{n_1}\sin \alpha }}{{{n_2}}}} \right)} \right)\]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

\[L = 0,5 \cdot tg30^\circ + 2 \cdot tg\left( {\arcsin \left( {\frac{{1 \cdot \sin 30^\circ }}{{1,33}}} \right)} \right) = 1,1\;м\]