Решение: В каком диапазоне длин волн можно улавливать радиопередачи приемником

Условие задачи:

В каком диапазоне длин волн можно улавливать радиопередачи приемником, в колебательном контуре которого имеется катушка с индуктивностью 1,2 мГн и переменный конденсатор емкостью от 10 до 490 пФ?

Задача №9.13.5 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(L=1,2\) мГн, \(C_1=10\) пФ, \(C_2=490\) пФ, \(\lambda-?\)

Решение задачи:

Частоту электромагнитных волн, которые принимает приемник, можно определить по формуле:

\[\nu = \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\;\;\;\;(1)\]

В этой формуле \(L\) — индуктивность катушки, \(C\) — электроемкость конденсатора.

Известно, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света \(c\) (в вакууме она равна 3·10⁸ м/с). Между скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света \(c\)), частотой их колебаний \(\nu\) и длиной волны \(\lambda\) существует следующее соотношение:

\[c = \lambda \nu \]

Откуда длина волны \(\lambda\) равна:

\[\lambda = \frac{c}{\nu }\]

В эту формулу поставим выражение (1):

\[\lambda = 2\pi c\sqrt {LC} \]

Запишем эту формулу для определения крайних значений длин волн, принимаемых приемником (при емкости конденсатора \(C_1\) и \(C_2\)):

\[\left\{ \begin{gathered}
{\lambda _1} = 2\pi c\sqrt {L{C_1}} \hfill \\
{\lambda _2} = 2\pi c\sqrt {L{C_2}} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]

Посчитаем численные значения крайних значений длин волн \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\):

\[{\lambda _1} = 2 \cdot 3,14 \cdot 3 \cdot {10^8} \cdot \sqrt {1,2 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 10 \cdot {{10}^{ — 12}}} = 206,4\;м\]

\[{\lambda _2} = 2 \cdot 3,14 \cdot 3 \cdot {10^8} \cdot \sqrt {1,2 \cdot {{10}^{ — 3}} \cdot 490 \cdot {{10}^{ — 12}}} = 1444,7\;м\]

Указанный приемник принимает волны длиной волы от 206,4 до 1444,7 м.