Условие задачи:

В калориметр налили 500 г воды, имеющей температуру 40 °C, и положили кусок льда массы 100 г, имеющей температуру -10 °C. Найти температуру содержимого калориметра после установления теплового равновесия. Теплоемкостью калориметра и теплообменом с внешней средой пренебречь.

Задача №5.1.46 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

\(m_1=500\) г, \(t_1=40^\circ\) C, \(m_2=100\) г, \(t_2=-10^\circ\) C, \(t-?\)

Решение задачи:

В условии не указано явно, что лёд весь растает, поэтому нам следует проверить следующее условие (условие того, что весь лёд растает):

\[{Q_1} \geq {Q_2} + {Q_3}\]

В этой формуле:

• \(Q_1\) — количество теплоты, выделяющейся при охлаждении воды массой \(m_1\) от температуры \(t_1\) до температуры плавления льда \(t_п\) (\(t_п=0^\circ\) C);
• \(Q_2\) — количество теплоты, необходимое на нагревание льда массой \(m_2\) от температуры \(t_2\) до температуры плавления \(t_п\);
• \(Q_3\) — количество теплоты, необходимое на плавление льда массой \(m_2\).

Распишем количества теплоты по известным формулам:

\[{c_в}{m_1}\left( {{t_1} — {t_п}} \right) \geq {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2}\]

Удельная теплоёмкость воды \(c_в\) равна 4200 Дж/(кг·°C), удельная теплоёмкость льда \(c_л\) равна 2100 Дж/(кг·°C), удельная теплота плавления льда равна 330 кДж/кг.

Переведём массы в систему СИ:

\[500\;г = 0,5\;кг\]

\[100\;г = 0,1\;кг\]

Проверим, выполняется ли неравенство:

\[4200 \cdot 0,5 \cdot \left( {40 — 0} \right) \geq 2100 \cdot 0,1 \cdot \left( {0 — \left( { — 10} \right)} \right) + 330 \cdot {10^3} \cdot 0,1\]

\[84000\;Дж \geq 35100\;Дж\]

Видно, что неравенство выполняется, значит лёд всё-таки весь растает, поэтому воспользуемся уравнением теплового баланса:

\[{Q_1} = {Q_2} + {Q_3} + {Q_4}\]

Здесь \(Q_4\) — количество теплоты, необходимое на нагревание воды массой \(m_2\) (образованной при таянии льда) от температуры \(t_п\) до температуры \(t\). Значит:

\[{c_в}{m_1}\left( {{t_1} — t} \right) = {c_л}{m_2}\left( {{t_п} — {t_2}} \right) + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}\left( {t — {t_п}} \right)\]

Раскроем скобки в обеих частях равенства:

\[{c_в}{m_1}{t_1} — {c_в}{m_1}t = {c_л}{m_2}{t_п} — {c_л}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}t — {c_в}{m_2}{t_п}\]

Так как \(t_п=0^\circ\) C, то все члены с множителем \(t_п\) равны нулю.

\[{c_в}{m_1}{t_1} — {c_в}{m_1}t =  — {c_л}{m_2}{t_2} + \lambda {m_2} + {c_в}{m_2}t\]

Все члены с множителем \(t\) перенесём в правую сторону, остальные члены — в левую сторону.

\[{c_в}{m_1}{t_1} + {c_л}{m_2}{t_2} — \lambda {m_2} = {c_в}{m_2}t + {c_в}{m_1}t\]

\[{c_в}{m_1}{t_1} + {c_л}{m_2}{t_2} — \lambda {m_2} = {c_в}t\left( {{m_1} + {m_2}} \right)\]

\[t = \frac{{{c_в}{m_1}{t_1} + {c_л}{m_2}{t_2} — \lambda {m_2}}}{{{c_в}\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}\]

Посчитаем ответ:

\[t = \frac{{4200 \cdot 0,5 \cdot 40 + 2100 \cdot 0,1 \cdot \left( { — 10} \right) — 330 \cdot {{10}^3} \cdot 0,1}}{{4200 \cdot \left( {0,5 + 0,1} \right)}} = 19,4^\circ\;C \]

Ответ: 19,4 °C.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

5.1.45 Ванну емкостью 100 литров необходимо заполнить водой, имеющей температуру 30 C
5.1.47 В сосуд, содержащий 1 кг льда при температуре 0 C, влили 330 г воды при температуре 50 C
5.1.48 Слой льда толщиной 4,2 см имеет температуру 0 C. Какова минимальная толщина слоя воды