Решение: В колено U-образной трубки площадью 1 см2, содержащей ртуть, налили 7,2 г воды

Условие задачи:

В колено U-образной трубки площадью 1 см², содержащей ртуть, налили 7,2 г воды и 20 г бензина. На сколько уровень жидкости в одном колене станет выше, чем в другом?

Задача №3.1.38 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

$S=1$ см², $m_{в}=7,2$ г, $m_{б}=20$ г, $\Delta h-?$

Решение задачи:

На схеме видно, что:

$\Delta h = {h_б} + {h_в} — {h_{рт}}\;\;\;\;(1)$

Первые два слагаемых найдем по следующим формулам (по сути — формула нахождения объема через массу и плотность):

$\left\{ \begin{gathered} {h_б} = \frac{{{m_б}}}{{{\rho _б}S}} \hfill \\ {h_в} = \frac{{{m_в}}}{{{\rho _в}S}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Выделим на схеме горизонтальный уровень, ниже которого находится только ртуть. Закон сообщающихся сосудов говорит о том, что при равновесии давление жидкости на одном горизонтальном уровне одинаково, поэтому справедливо записать:

${p_{рт}} = {p_{б}} + {p_{в}}\;\;\;\;(2)$

Давление столбика ртути высотой $h_{рт}$ равно:

${p_{рт}} = {\rho _{рт}}g{h_{рт}}$

Давление бензина и воды найдем по формуле-определению давления:

$\left\{ \begin{gathered} {p_б} = \frac{{{m_б}g}}{S} \hfill \\ {p_в} = \frac{{{m_в}g}}{S} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Равенство (2) примет следующий вид:

${\rho _{рт}}g{h_{рт}} = \frac{{{m_б}g}}{S} + \frac{{{m_в}g}}{S}$

${h_{рт}} = \frac{{{m_б}}}{{{\rho _{рт}}S}} + \frac{{{m_в}}}{{{\rho _{рт}}S}}$

В конечном счете формула (1) станет такой:

$\Delta h = \frac{{{m_б}}}{{{\rho _б}S}} + \frac{{{m_в}}}{{{\rho _в}S}} — \frac{{{m_б}}}{{{\rho _{рт}}S}} — \frac{{{m_в}}}{{{\rho _{рт}}S}}$

$\Delta h = \frac{1}{S}\left( {\frac{{{m_б}}}{{{\rho _б}}} + \frac{{{m_в}}}{{{\rho _в}}} — \frac{{{m_б}}}{{{\rho _{рт}}}} — \frac{{{m_в}}}{{{\rho _{рт}}}}} \right)$

Переведем некоторые величины в систему СИ:

$1\;см^2 = {10^{ — 4}}\;м^2$

$7,2\;г = 0,0072\;кг$

$20\;г = 0,02\;кг$

Плотность бензина $\rho_{б}$ равна 700 кг/м³, плотность воды $\rho_{в}$ — 1000 кг/м³, плотность ртути $\rho_{рт}$ равна 13600 кг/м³. Произведем вычисление ответа:

$\Delta h = \frac{1}{{{{10}^{ — 4}}}}\left( {\frac{{0,02}}{{700}} + \frac{{0,0072}}{{1000}} — \frac{{0,02}}{{13600}} — \frac{{0,0072}}{{13600}}} \right) = 0,338\;м = 338\;мм$